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» On aura une relation de la forme 



M, N, P étant des fondions de r, y, z, p, . . . , t. En cherchant de même 

 les caractéristiques du quatrième ordre passant par une caractéristique 

 donnée du troisième ordre, etc., on obtiendra une infinité d'équations de 

 la forme 



(5) 



_ d\ , dF dF\ ^dH„ 

 (Lr dp ()'/ ) dx' 



= ^' « = :>, 4, . 



les termes non écrits dépendant de x,y^ z, p, q, £„, -~ et, en outre, de r, 



j, /, û, £^, . . ., £„_, et de leurs dérivées totales par rapport à x. 

 » Par suite, si l'on n'a pas identiquement 



en vertu des relations (i), (3), une caractéristique du second ordre choisie 

 arbitrairement appartiendra à une seule caractéristique du troisième, qua- 

 trième, ... ordre, c'est-à-dire à une seule surface intégrale de l'équation (i); 

 ce qui a lieu, par exemple, pour l'équation r-=q. 



» Supposons maintenant que la relation (6) soit une conséquence de 

 (i) (3). L'équation (4) donne 



(7) r£-hm(*V + N^+P=„. 



dx- \dx 1 djc 



» Donc, l'ensemble des caractéristiques du second ordre appartenant à des 

 surfaces intégrales non singulières ne dépend que de sept paramétres ; c'est le 

 nombre de constantes arbitraires introduites par l'intégration du sys- 

 tème (3) (n) d'équations différentielles ordinaires, en ayant égard à la 

 condition (i). Les relations (5) montrent d'ailleurs que pour « = 3, 4, ... 

 il y a une double infinité de caractéristiques d'ordre n, passant par une 

 caractéristique donnée d'ordre n — i, de sorte que l'ensemble des carac- 

 téristiques d'ordre n, situées sur des surfaces intégrales non singulières, 

 dépend de 2/i -h 3 paramètres. Pour les équations (t) de cette catégorie, la 

 solution du problème de Cauchy n'exige évidemment que l'intégration com- 

 plète du système (3) {^'j') et de simples éliminations. 



» On peut, sans restreindre la généralité, supposer l'équation (i) ré- 



