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de nombres dont chacun est l'ensemble de /• nombres ordinaires, réels on 

 imaginaires, rangés dans un certain ordre et sur lesquels on a défini les 

 opérations fondamentales de l'addition et de la multiplication, la première 

 opération étant commutative et associative, la seconde étant distributive et 

 associative, mais pouvant ne pas être commutative. On suppose de plus 

 possible en général l'opération inverse de la multiplication, ou, ce qui 

 revient au même, l'existence d'un module, c'est-à-dire d'un nombre qui, 

 multiplié à droite ou à gauche par un nombre quelconque du système, 

 reproduit ce nombre. 



» On peut toujours supposer, et d'une infinité de manières, que la 

 somme de deux nombres (a?,, a.,, . . ., .r,.) et (r, , y^, . . -, Jr) est le nombre 



(x, 4- ji, a-o + j'o ^i", +J';)> et que le produit des deux mêmes nombres 



est formé de r formes bilinéaires des x et des/. Cela permet de mettre un 

 nombre quelconque sous la forme 



x,e,-\- X2e.,-i-.. . + x,.e,., 



les X étant des nombres ordinaires et les e des nombres du système qu'on 

 appelle unités et qui ne sont au fond que r nombres particuliers de ce sys- 

 tème. La loi de multiplication est alors définie par les produits de ces 

 unités deux à deux. 



» On dit qu'un système u est un sous-système de i si tous les nombres 

 de T font partie de 1. 



» On dit qu'un système 2 esl/ormé de deux sous-systèmes t, et c^ si ces 

 deux sous-systèmes n'ont aucun nombre commun et de plus si tout nombre 

 de 1 est la somme d'un nombre de n, et d'un nombre de c.,. On dit que le 

 système 1 se décompose en ces deux sous-systèmes a, et o.^ si, en outre, le 

 produit d'un nombre de a, par un nombre de t^ est constamment nul. 



T> A ces définitions bien connues on peut ajouter les suivantes : 



» Un sous-système g de i est invariant si le produit, à droite ou à gauche, 

 d'un nombre quelconque de 2 et d'un nombre quelconque de a appartient 

 à c. Nous étendrons même cette définition aux sous-systèmes qui n'ont pas 

 de module. 



)i Un système est dit simple s'il n'admet aucun sous-système invariant; 

 il est dit semi-simple s'il se décompose en systèmes simples. 



» 2. Étant donné un nombre x d'un système, l'équation qui a pour ra- 

 cines les nombres ordinaires co, tels qu'd existe un nombre complexe y 

 satisfaisant à la relation 



