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peut être appelée l'équation caractéristique du système. L'étude de cette 

 équation m'a fourni des résultats très généraux que j'énonce rapidement : 

 » Tous les systèmes simples rentrent dans un même type; ils sont d'ordre p", 

 p étant un entier quelconque ; on peut choisir les p^ unités d'un tel système, de 

 façon qu'en les désignant par e^, on ait 



eijCjh = e/A ('.y. X- =. 1 , 2, . . . . p), 



les produits non écrits étant tous nuls. 



» En ce qui regarde les systèmes qui ne sont ni simples, ni semi-simples, 

 on peut énoncer un théorème très général, mais qui nécessite une défini- 

 tion préliminaire. 



» Un système sans module est dit pseudo-nul si aucun nombre de ce sys- 

 tème ne peut se reproduire par multiplication avec un autre nombre du 

 même système; on peut démontrer qu'on peut affecter chaque unité d'un 

 système pseudo-nul d'un indice, tel que le produit de deux de ces unités ne dé- 

 pende que des unités dont l'indice est supérieur à chacun des indices des deux 

 premières. 



» On a alors le théorème suivant : 



» Tout système, qui n'est ni simple ni semi-simple, est formé d'un sous-sys- 

 tème incariant pseudo-nul et d'un sous-système simple ou semi-simple. Le sous- 

 système invariant pseudo-nul est parfaitement déterminé et s'obtient, par 

 exemple, en annulant les dérivées partielles du coefficient de w''~^ dans le 

 premier membre de l'équation caractéristique. 



» Les systèmes, pour lesquels le sous-système semi-simple se décompose 

 en sous-systèmes simples d'ordre i, ont été sppe\és intégrables ou systèmes 

 sans quaternion (les quaternions étant les systèmes simples d'ordre 2- ^ 4)- 

 Si l'on appelle e,, e^, .... e^ les unités des sous-systèmes simples, et-/),, 

 ■n„, . . ., T,k celles du sous-système invariant pseudo-nul, on peut supposer 

 ces dernières unités choisies de telle façon : 



» 1° Que, pour chacune de ces unités, il existe deux nombres a, [î, in- 

 férieurs ou égaux à A, constituant le caractère de cette unité, et tels que 

 l'on ait 



tous les autres produits e^r„ ■f,ej étant nuls; le caractère de l'unité e^ est 

 alors (a, oc); 



» 2° Que le produit d'une unité de caractère (a, ji) par une unité 

 de caractère (y, S) soit nul si ^ est différent de y et soit de caractère (a. S) 

 si p est égal à y ; 



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