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» 3° Que le produit de deux unités r„. Xj ne dépende que des unités ■r\ 

 dont l'indice est supérieur à la fois à i et y. 



» Ce théorème relatif aux systèmes intégrables est dû à M. Scheffers ( * ). 

 D'ailleurs le choix canonique de ces unités est possible en général d'une 

 infinité de manières. 



» Les systèmes non intégrables ou à qualernions sont ceux pour lesquels 

 le sous-système semi-simple se décompose en sous-systèmes simples, dont 

 l'un au moins est d'ordre supérieur à i.On voit qu'ils contiennent des sous- 

 systèmes simples d'ordre l^, c'est-à-dire des quaternions. J'ai démontré à l'égard 

 de ces systèmes le ihéorkme fondamental syù\an\. : 



)) Tout système non intégrable ^ peut se déduire d'un système inlégrable i' 

 de la manière suivante : 



» Imaginons qu'on ait choisi des unités canoniques e,,e.,, . . . , c/ pour ce 

 système 1', chacune d'elles ayant un caractère déterminé (a, p). Désignons 

 par p,, p.,, . . . , des nombres entiers. Tout nombre de 2 pourra être regardé 

 comme de la forme 



X, e, -^ X^e. -+-... + Xr-Cr, 



les X étant, non des nombres ordinaires, mais des nombres complexes ; le coef- 

 ficient X d'une unité e de caractère (a, ^) sera de la forme 



X = lXijiij (j= i,2,...,;j„;y=i,2,...,/5p), 



où les Xij sont des nombres ordinaires arbitraires et les ijj des symboles soumis 

 à la loi de multiplication 



Cela revient en somme à faire correspondre à cluique unité e de caractère (x, p) 

 de l' un certain nombre paP^ d'unités de 1 désignées par les symboles 



iije = ei,j. .. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence des substitutions uniformes. 



Note de M. E.-M. Lémeray, 



« I. Soit a un point racine de l'équation/j:? — a; = o,fx étant une fonc- 

 tion holomorphe au voisinage de a. Désignons par /"a?, la /('"'■'' itérative 



(') ScHEFFEDS, Zuruckfithiuiig complcxer Zatilensysteme au/ lypische Fonnen 

 (Miilli. yin/ialcn, l. XXXIX; 1891). 



