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ùe fx ; par p un multiple de Ji ; par a,, a.,, a.^, ... les valeurs que prennent 

 en a les dérivées de /a' par rapport à a; ; parAi.Aa.A,, ... les valeurs que 

 prennent en a les dérivées de la fonction /"x — x par rapport à la même 

 variable. Une quelconque de ces dernières, A, par exemple, est en général 

 une fonction, que l'on sait former, de a,, a.^, . . ., «;_,, a,. Supposons que 

 les p premières dérivées de/" a- — x soient nulles en a, ce qui arrivera s'il 

 existe entre les a,, a.,, a,, ... certaines relations de condition. Cela posé, 

 si l'on joint à ces dernières, supposées remplies, une nouvelle équation de 

 condition, telle que la dérivée d'ordre p + i def"x — x s'annule en a, 

 les dérivées d'ordre p -i- 2, p + 3, . . , /? 4- « de la même différence s'annu- 

 leront aussi en a. Autrement dit, pour que les p premières dérivées de 

 /"x — X s'annulent pour x = a, il faut et il suffit qu'il existe, entre les 



a,, flo, . . ., - relations convenables. 



n 



» Soit, par exemple, n — 2., pour avoir A, = o. A, = o, il faut et il suffit 

 que l'on ait 



a, + I = o. 



» Si, de plus, l'on veut avoir A3 = o, A4 = o, il faut et il suffit que l'on 

 joigne, à la relation précédente, la relation 



3al + 2 «3 = o. 



» Si l'on veut encore avoir A5 = o, A^ = o, il faut joindre, aux deux 

 relations précédentes, la relation 



2a^-h i5a^aji — 3oal = o, .... 



» Soit encore « = 3. La relation 



a, = e ^ 



entraîne A, = o, A^ = 0, A, = o. Jointe à celle-ci, la nouvelle relation 



(3a4— iSa;; — 2ao«3) + c " (3rt., — 3a^+ i/ja^a.,) = o 



entraîne A., = 0, A- = o, A„ = o, — 



» II. On sait que la substitution [^,yj:] répétée indéfiniment fournit, 

 pour une valeur donnée de x, des valeurs qui peuvent, dans certains cas, 

 converger vers une racine a de l'équation/x" — x = o. Désignons encore 

 par p un multiple de n, et considérons le cas où les p premières dérivées 

 de/"x — X sont nulles pour o; = a, la dérivée d'ordre/» -t- i de cette diffé- 



