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rence étant supposée difTcrenle de o en ce point et égale à Re"^'~' . Décri- 

 vons autour de a comme centre un cercle de rayon infiniment petit, ce 

 cercle se décompose en ip secteurs de même amplitude, ces secteurs sont 

 alternativement régions de convergence, et régions de divergence pour la 

 substitution considérée. Pour déterminer les secteurs de convergence, il 

 suffit d'en connaître un; or l'un d'eux est compris entre les demi-droites 

 qui font, avec la parallèle à l'axe réel menée par a, les angles 



7. 



et 



» III. Si la fonction ya; satisfait à l'équation fonctionnelle 



f"x — a; = o, 



il ne peut y avoir a /?/Yori convergence puisque après n itérations on retombe 

 sur la valeur initiale. En effet, la première dérivée de/"x — x qui ne s'an- 

 nule pas au point racine est d'ordre infini, le cercle se décompose en une 

 infinité de régions de convergence et de régions de divergence alternatives, 

 infiniment petites; ou ne peut plus dire que x soit pris dans une région de 

 convergence, ou dans une région de divergence. » 



MÉCANIQUE. — Sur les petits mouvements périodiques des systèmes. Note 

 de M. P. Pai.nlevê, présentée par M. Picard. 



« Dans le premier Tome de sa Mécanique céleste (p. i56-i 39), M. Poin- 

 caré a discuté sommairement les mouvements périodiques d'un système 

 dans le voisinage d'une position d'équilibre. Dans son Traité d' Analyse 

 (t. III, p. i8o-i85), M. Picard a donné à cette discussion une forme très 

 simple. Mais les solutions périodiques ainsi mises en évidence peuvent 

 être réelles ou imaginaires. De plus, la discussion, quand on l'approfondit, 

 prêle à une objection assez sérieuse, ainsi que je vais le montrer. Je me 

 propose, dans cette Note, de lever ces difficultés : j'établirai notamment 

 que, dans le voisinage d' une position d'équilibre stable, il existe, en général, 

 une infinité de mouvements périodiques réels. 



» Considérons le système différentiel 



('^ -^=«.,y^. -*-«i,>'^i.-t-- • • +««,;^«+ ■ •• (y= I, 2, .. .,rt), 



