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OÙ les seconds membres sont nuls et holomorphes pour 



Cherchons s'il existe des solutions périodiques (V amplitude aussi petite 

 qu'on veut et dont la période oj reste inférieure à une limite finie ( ' ). 



» La méthode de M. Poincaré montre que oj diffère très peu de -y-» 



m désignant un entier et i\ une racine de l'équation 



«.,( — •? «2,1 ••• «rt.l 



(2) = A(5)=EE 



^\,it ^-2,11 • • • ^n,n 



» Admettons donc que l'équation (2) possède un couple de racines pu- 

 rement imaginaires ± il, qui soient simples. Supposons de plus qu'aucune 

 racine de (2) ne soit nulle, ni égale à ipl, p désignant un entier plus grand 

 que I. 



» En transformant linéairement les x et en changeant / en r) on ramène 



le système (i) à la forme 



(d.i'i djc^ 



Hf--^-' lit— -•^■•+---' 



^^^ l dj- 



[ -^ =a,jx,-h...+ a„jœ„ + ... (j = 3, 'u ■ • -, n). 



» Si l'on exprime que pour / ^ 2- -)- t, les x^ reprennent leurs valeurs 

 initiales x°, on obtient n équations en x^, ..., x^, t, dont les (n — 2) der- 

 nières sont résolubles en a?", . . ., x^, et dont les deux premières (une fois 

 xl, ..-, xl remplacées en fonction de t, a?", a;") ont la forme 



(3) T«;+...) + PK,a7;;) = o, 



(4) .«+...) -f-Q(.r:,^D = o. 



p et Q commençant par des termes du second degré, au moins en xi, a;". 

 Les deux courbes (3) et (4) du plana:"., xl ont pour t ^ o une intersection 

 simple à l'origine, et pour t = o une intersection multiple. Le point essen- 

 tiel de la méthode, c'est que les deux courbes (3), (4) ont par suite, pour 

 T voisin de zéro, des points communs (réels ou imaginaires) voisins de 

 l'origine. Mais (et c'est cela l'objection que je signalais) la chose n'a pas 



(') La discussion n'apprend rien sur les solutions périodiques, dont la période croî- 

 trait indéfiniment lorsque l'amplitude tend vers zéro. 



