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lieu nécessairemenl , comme le montre l'exemple 



tj: + ^- — y- = G, TV H- X- — y- = o. 



» Pour lever l'objection, j'établis que P et (^ (s'ils ne sont pas nuls 

 identiquement) commencent respectivement par un terme de la forme 

 axl{x'''^-{-x''l)P, ia;X,< + </, et que, par suite, (3) et (4) ont une 

 courbe commune de la forme 



(5) ^(,+...)_.(^.- + ^-)/. + ...= o, 



g désignant une constante numérique ([x = i en général). Pour les petites 

 valeurs de t du signe de g, la courbe (S) est réelle. 



» Ne regardons pas comme distincts deux mouvements qui se déduisent 

 l'un de l'autre en augmentant t d'une constante; nous pouvons énoncer 

 ce théorème : 



» Le système (i)' admet une infinité de solutions périodiques réelles et dis- 

 tinctes dépendant d'une constante arbitraire; suivant les valeurs des coeffi- 

 cients de (i)', ces solutions ont toutes une période un peu plus grande que 2-, 

 ou un peu plus petite que ir., ou égale à ■->.-. 



» Si l'on étudie maintenant les solutions de (i)' dont la période est voi- 

 sine de 2m-, on trouve les mêmes que plus haut, à moins que l'équation 



A = o n'admette une racine de la forme — • 



m 



» Conclusion. — Si V équation A = o admet des racines purement imagi- 

 naires qui soient toutes simples et n admet aucune racine nulle, le système ( i ) 

 possède une infinité de solutions périodiques réelles et distinctes qui diffèrent 

 peu de la solution a^, 3E£2 j-^es . . . ^ a;„ = o. 



» D'une façon précise, à toute racine simple iX de l'équation A = o telle 

 qu'aucune autre racine ne soit de la forme ip\ (p désignant un entier po- 

 sitif) correspond un faisceau de solutions périodiques, réelles et distinctes, 



dont la période diffère peu de -r^- 



» Si les équations (i) définissent le mouvement d'un système S dans le 

 voisinage d'une position d'équilibre stable, toutes les racines de A = o sont 

 purement imaginaires ou nulles. Si ces racines sont distinctes et différentes 

 de zéro, le théorème précédent s'applique. 



» Un cas où A = o a une racine nulle et qui se rencontre souvent en 

 Mécanique est le suivant: soit (pour fixer les idées) S un système qui 

 dépend de trois paramètres x, y> ^; supposons que la force vive et la fonc- 



