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première approximation blJ". Il vient, pour représenter (au facteur près p^) 

 le frottement extérieur moyen B„wî;3ri.y" par unité d'aire, la formule 



/ r\ B -.,-/• 7IT2 , /~6~cT ;iltF,3H-M'-01L(F,M') 

 (i6) B,u;D)^/=bV'-2ks^—- ^ L^-i. 



»■ On donne au second membre une signification plus intuitive en obser- 

 vant que F, et Ai /——.reviennent, d'après (8) et (i5), dans les petits 



i . / . r V , if — ie„ , "iiv/Bo , ^ j . " — lia 



termes ou u est en tacteur, a r-^> k , , , et ont pour produit — i-;— ■ 



«„/>VBo ^ ' ^ ^ 



Alors ;/(, s'élimine du dernier terme de (i6) ; et, en indiquant finalement par 

 (m-)' la dérivée complète de lû' relative au temps, c'est-à-dire sa dérivée 

 iiiu! prise en suivant une même particule, par Olt(w-)' la valeur moyenne 

 de («■)', il vient 



(17) B,w-3lv/=/^U=+--[^— ^ -20rLi/J. 



Telle est la valeur de V)f^u\'y^f qu'il faudra porter dans l'équation (5), où 

 figure la pente motrice I, Résolue par rapport à I, cette équation sera 



(.8) i=èu^z.^i[qp:-.w]. 



» IV. Il manque encore à son dernier terme et à celui de (17) d'être 

 reliés le plus simplement possible à la vitesse moyenne U ou à ses dérivées 

 partielles en x et f. 



» Pour y parvenir, démontrons d'abord la formule générale suivante, 

 où il s'agit de tout courant fluide, permanent ou non permanent, dont les 

 particules, d'une densité p constante ou variable, possèdent des vitesses V 

 ayant, à l'époque t, les composantes m, t^, tv suivant des a?, y, s fixes et 

 où, U étant la vitesse moyenne (de débit) suivant l'axe des x, à travers 

 les sections n normales à cet axe et fonctions, comme elle-même, de x et 

 de t, T désigne d'ailleurs toute fonction continue des quatre variables t, x, 

 y, z, enfin, t', sa àér'wéQ complète par rapport au temps, ou dérivée prise 

 en suivant durant l'instant û?^ la particule venue en {x,y,z)'A l'époque/ : 



(19) ^Pt'J. = I fj^da + ^ ^P"-^^-- 



» Considérons, en effet, à l'époque i, la somme I/tit', pour toutes les 



dx I de, que 

 limitent les sections a, a ayant deux abscisses voisines et constantes x, 



