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d'après un théorème de M. Tissot. Soient A- dt- -+- n-dii\ A>-cll- -+- \\\r cl el- 

 les carres des éléments linéaires de la surface et de la sphère; 



i(aAV/^-f- 2cABr//r/M + bWiltr) 



la partie principale de la distance du point / + d(, u -hn du au plan tangent 

 en /, u (voir ma Note du 5 avril) : on aura 



(aAdt ~hcBdt(y- + (cAdt-hb]idu)- = X^ dl- + x^c-dir; 

 d'où 



k-{a- + C-) = .X>-, B^(c- + h') = ^l^^ 



c{a + />)AB = o. 



» Ainsi ^ et « sont les paramètres des lignes de courbure de la surface, 

 lorsqu'elle n'est pas minima, a + & :^ o; si la surface est minima, le mode 

 de correspondance réalise une représentation conforme de la surface sur 

 la sphère et l'angle des éléments correspondants ne change pas lorsqu'on 

 fait tourner l'un d'eux autour d'une de ses extrémités. 



» Donnons-nous le système orthogonal sur la sphère et supposons c = o. 

 Ona 



ô 11!,; d cl,;, 



()t rX, ()u iti. 



A'„ _ .K B; _ iiV, R_'_A R_i_B 



"B " "ÛÎT' Â ~ .1, ' ^ "" rt ~ Jl,' "' - 6 ~ 11!.' 



R et R, étant les rayons de conrbure principaux de la surface. 



» Si l'une des dérivées Jl,'„, iftj^ est nulle, A.^= o par exemple, on pourra 

 faire ,1, ^^ i , et l'on aura 



tP., = - ^fî,;,= Ue'•'^-U,^-'■^ 



A = T, B = j U fie'' dl- iV, fie- " dt + \]^, 



T étant une fonction arbitraire de t, U, U,, Uj des fonctions arbitraires 

 de u. 



)) Supposons ol,|,, iPo^ différents de o. Les fonctions^ = ),, — -^ = ;;. sa- 

 tisfont à deux équations aux dérivées partielles du quatrième ordre. On 

 pourra prendre pour A une solution quelconque de l'équation 



Ka- ^/A„-AaA = o; 



