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 les deux relations 



^ '^ 5 + y./ + -.- = O 



(j 



'% 



sont aussi générales que les équations obtenues en éliminant oc entre les 

 deux relations 



r+ 2A^ + A-/ + 2B = o, -t-i -h A-T-/-+- -r- = o, 



OÙ A, B désignent des fonctions de x, y, z, p, q, a. On peut donc partir des 

 formules (i) pour définir les équations dont les deux systèmes de caracté- 

 ristiques sont confondus. Soit 



(2) r—o(a-,y,z,p,q,s,t)=o 



l'équation obtenue par l'élimination de a. entre les deux équations (1). Si 



l'on remplace les dérivées partielles y^- ■ • •> -y^^ • • • par leurs valeurs dans 



la condition (10) de M. E. von Weber, on trouve une seule relation, qui 

 est précisément identique, aux notations près, avec l'équation (67) de mes 

 Leçons (p. 207). Ce qui a pu donner lieu à l'erreur de M. E. von Weber, 

 c'est qu'd y a justement une faute d'impression dans cette équation (37); 



on doit lire, sur la première ligne, — u ^,7^ au lieu de — m ^^ j^ > et le 



terme u — - -^ — ^ de la seconde ligne doit être supprimé. Cette faute avait 

 ou- au (7x5 ° 



pu passer inaperçue, car je ne me sers pas de la formule (57) dans la suite 

 des raisonnements. 



» Je rappellerai aussi que, dans une Note récente (Comptes rendus, 

 2 novembre 1896), j'ai annoncé que les équations précédentes étaient les 

 seules équations du second ordre, ayant leurs deux systèmes de caractéris- 

 tiques confondus, intégrables par la méthode de M. Darboux. La démonstra- 

 tion, qui exige d'assez longs calculs, est développée dans le Tome TI de 

 mes Leçons sur les équations du second ordre, qui paraîtra prochainement. 



» Les remarques qui précèdent ne diminuent point l'intérêt de la Note de 

 M. E. von Weber, qui achève d'accuser une différence profonde entre les 

 équations aux dérivées partielles du second ordre, qui admettent deux 

 systèmes distincts de caractéristiques, et celles qui n'en admettent qu'un 

 seul. Tandis que, dans le premier cas, toute caractéristique appartient à 

 une infinité d'intégrales, dans le second cas, en dehors des équations, dont 



