( i33o ) 



fonclion auxiliaire 



, dh ri h 



mettons l'équalion (29) sous la forme 



(3.) ^-"•S="- 



» Les deux constantes u, u' auront respectivement pour somme et pour 

 produit les coefficients des second et troisième termes de (29); d'où 



(32) 



L 2(1 +2T,) J y ' + 2T, 



L 2(l+2Tl) J ^ Vu- 2-n 



K désignant le nombre positif dont le carré est 



(33) R- = ,+ja-.-2. + [^— J \ r:^^]-ii- 



» Nous prendrons le radical, dans (32), avec les signes supérieurs s'il 

 s'agit d'ondes descendantes, avec les signes inférieurs s'il s'agit d'ondes 

 ascendantes. Dans le premier cas, en plaçant l'origine des x à l'entrée du 

 canal, on n'aura le long de celui-ci que des abscisses x positives; et l'on 

 pourra convenir de compter le temps à partir (riiii moment où l'expres- 

 sion (3o) de ij/ sera encore nulle pour x'^o. Dans le second cas, en pla- 

 çant l'origine des x a l'embouchure, l'on n'aura, au contraire, que des 

 abscisses x négatives; et l'on comptera de même le temps t à partir d'une 

 époque où ij* = o tout le long du canal, savoir pour x <^o. 



» V. Cela posé, formons les intégrales du problème pour la région du 

 cours d'eau située cw avant du plan x =0//, c'est-à-dire ayant des abscisses 

 plus grandes que w'/, dans le cas d'ondes descendantes où l'on a w'<^w, 

 mais plus petites que io' t dans le cas d'ondes ascendantes, ou 0/ est ^ w. 

 Cette région comprendra évidemment tout le canal si tu et w' ont signes 

 contraires ; ce qui arrivera dans les cours d'eau franchement tranquilles (non 

 torrentiels), où \g\i excède notablement U. Même dans un cours d'eau 

 torrentiel, elle sera assez étendue j)our que la différence x — i.ot, inférieure 

 ou supérieure kx — 10 t suivant que les ondes descendent ou remontent 

 le courant, y varie de part et d'autre de zéro, et finalement dans d'aussi 

 larges limites que l'on voudra, une fois t devenu assez grand. 



» La région considérée donnant, suivant les cas, x — i^'t^o ou 



