( nofi ) 



répondre à voire question, je considère la série 



V=a 



(i) /(or) = ^~sm2^X7:, 



v = l 



en admettant que la série suivante 



(2) ^(a"')= V(r, — r,,,)sin(2v + i).tt:, 



v = o 



où (-„ = o, converge uniformément dans un intervalle, je dis que sa valeur 

 donne celle de la dérivée /'(^) par la formule 



(3) f'ia-) = ^(.v)^^—. 



» Posons, en effet, g(x) — '^^^ =/?•, (ar). nous aurons 



^ff.r^)^lim^(^-c...) ^'"^;:;:^"^ 



v = o 



et l'applicalion de la formule d'Abel, 



2 aji^ = A.,(k, — h^^, ) + A„ h„ 



où 



Av = a„-^ a, -h. . .-h a,,. 



1 1 11 1 f . 1 7 sin (av -h i).r- , 



dans laquelle il faut prendre a^ = c,,— r... ,, h,.= — î;^ — — , nous donne 



' sin.rT: 



l'identité 



:^^i(^) = l"" 2à ^v^. 2 COs(2v + 2).r:: + c„^, • 



l_ v = o J 



» Cela posé, soienta?o, ce, deux points compris dans l'intervalle (o . . . i), 

 oi!i la série g, (.r) est uniformément convergente, on aura, d'après un théo- 

 rème élémentaire, 



/ g,{.T)(îx =\im\ ^!^(sin2v.r,7r — sin2va:-„77) + R„ . 



