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 en posant, pour abréger, 



r, r^'T,s\n{9.n-^i).rT.j 



^n=Cn+i ^-^ do-. 



J ^, sina:- 



Or vous trouverez, en intégrant par parties, 



R _ _ ^"+1 r cos(?-/i + i):riiT _ cos(2» -t- O-rpT 

 " « + i L sina^iTt sin^ou 



7rC„+i /" 'C0S(2n -i-l)iC'K.COSûrT. , 



2/i + I J , sin'^^Tt ' 



là la quantité infiniment petite — '^^^^ se trouve multipliée successivement 



par deux quantités qui restent finies pour n infini, et nous aurons, par con- 

 séquent, limR,, = o, ce qui fait voir qu'on a, avec une entière rigueur, 



06 



J g,(œ)flx ='^'^(s\n9.^x,-:z — sin2va"o-) =/(x,) — /(.r„), 



''" V = 1 



ce qui prouve l'exactitude de la formule (3). 



» .l'applique maintenant le théorème à la série de Kummer ' 



^ogT(w) + -log -^^ + [^w - -j[log277-r (i)]= 2^-77^^'" -""'"• 



n = I 



la relation (3) me donne le résultat cherché 



—i — f sinwîi H COSfiP'Tr H- Floç^aTr — r'(i)lsin(P7r 



r((V) 2 1 C V /J 



ce 



= 7 loç — — sin(2n + r)n'7T. 



Il = 1 



» C'ejt, Monsieur, la théorie des quantités Malusténiennes qui m'a con- 

 duit directement à cette formule, et m'a inspiré la vraie voie pour parvenir 

 au résultat général. Il m'a frappé qu'on puisse, à l'aide de cette règle, 



trouver la valeur de la série N — '^^ — ^, car, les c^ étant éffaux, les diffé- 



rences c^— c^+, seront nulles, sauf la première c„ — c,, qui est égale à 



: on aura donc /'(.r)= smixt:—. — ^^ — := — i.d'oii /'(^)^const. — a;, 



et la constante s'obtient en posant .t =^ ^. J'ai étendu la règle aux autres 



formes, 7 — cos2va7:T, 7 sinfav — i).tt: et aussi aux séries 



^id V ^^ 2 V — I ■' 



