( i'7o ) 

 tain nombre j^. de points (j^,}', 2) de la surface, variables avec u et c, et 



tels que, peureux, le déterminant fonctionnel y., '• , ne s'ann^lle pas iden- 



^ ^ D(u,i') ^ 



tiquement. Supposons qu'il soit possible de choisir les fonctions F et <î> de 

 manière que, pour un système particulier de valeurs de u et t', les [z. points 

 correspondants soient pi points arbitrairement donnés sur /, et désignons 

 alors par p + i le minimum de ce nombre [a. Le nombre p est l'invariant 

 que je signalais, et on voit que c'était l'extension aux surfaces du point 

 de vue auquel s'était placé M. Weierstrass pour définir le genre dans les 

 courbes algébriques. Les conditions d'existence du nombre p, comme je le 

 disais, sont intéressantes à étudier; quoique je sois loin d'avoir terminé 

 cette étude qui touche à beaucoup de points de la théorie des surfaces, 

 je voudrais indiquer sommairement les idées qui m'ont guidé dans ces 

 recherches. 



» Les équations (2) représentent deux faisceaux de surfaces, que nous 

 supposerons contenir linéairement P paramètres arbitraires, et désignons 

 par R le nombre de leurs points communs en dehors de points fixes ou de 

 points situés sur des courbes fixes de /. Prenons sur la surface 1 points 

 arbitraires. Si 1 <| P — i , on peut faire passer par ces points au moins une 

 surface de chacun des faisceaux; ces surfacesj auront R — >. autres points 

 communs, et si 



R— \<P - I, 



on peut faire passer deux surfaces des faisceaux dépendant au moins d'un 

 paramètre arbitraire. On construit ainsi les faisceaux (2) ayant 1 points 

 communs, ces 1 points étant pour des valeurs données de u et v des points 

 arbitrairement choisis de la surface. Or, les deux inégalités précédentes 

 peuvent s'écrire 



R-P + i<).<P-i, 



ce qui exige que l'on ait 



2P>R 



» Telle est l'inégalité qui doit exister entre P et R, pour que nous 

 puissions avoir des faisceaux de surfaces répondant aux conditions du pro- 

 blème. 



» Considérons, d'autre part, une surface quelconque d'un des faisceaux 

 et son intersection mobile T avec /. Nous avons sur celte courbe R points 

 mobiles, dont P sont arbitraires et l'on peut, par suite, avoir sur la courbe 

 un groupe de R — P 4- i points dépendant d'un paramètre et ayant des 



