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positions arbitraires pour une valeur particulière de ce paramètre. Il en 



résulte 



R— P4-i>n 



en désignant par II le genre de la courbe F, d'où nous concluons 



P>n + i. 



» Nous avons donc un système linéaire de surfaces coupant/ suivant 

 une courbe mobile F, et le nombre P des paramètres est au moins égal au 

 genre de F augmenté d'une unité. 



)) Nous allons conclure de là une propriété de la surface /. Prenons sur 

 celle-ci n — i points A; nous pouvons par ces points faire passer une sur- 

 face du système linéaire contenant au moins deux arbitraires. Cette surface 

 détermine sur /une courbe F, et aux n — i points A de F correspondront 

 n — I autres points B de cette courbe d'une manière uniforme. Ainsi, à un 

 ensemble A de n — i points pris arbitrairement sur/, on peut faire corres- 

 pondre un autre ensemble B d'un même nombre de points, et cette corres- 

 pondance birationnelle entre les deux ensembles dépend rationnellement de 

 deux paramètres arbitraires au moins. 



» Nous sommes donc ainsi amené à étudier les surfaces sur lesquelles 

 peut exister une correspondance birationnelle dépendantde paramètres ar- 

 bitraires entre deux ensembles d'un certain nombre v de points, les v points 

 d'un de ces ensembles étant arbitraires sur la surface. C'est la généra- 

 lisation du problème de la recherche des surfaces admettant des transfor- 

 mations birationnelles en elles-mêmes (dans ce cas, v = i). Si la corres- 

 pondance entre les deux ensembles renferme les paramètres de manière à 

 former un groupe o\i plus généralement à faire partie d'un groupe continu et 

 fini, le problème peut se traiter en suivant une voie analogue à celle que 

 i'ai suivie autrefois pour chercher les surfaces admettant un groupe con- 

 tinu de transformations birationnelles en elles-mêmes. Il n'en sera pas 

 nécessairement ainsi dans le cas qui nous occupe; mais nous sommes as- 

 suré alors que la surface / admettra une correspondance birationnelle 

 entre deux ensembles de points situés sur elle, qui dépendra rationnelle- 

 ment d'un nombre de paramètres arbitraires égal au double du nombre v. 



» Les considérations précédentes nous amènent à introduire un second 

 invariant en général distinct du premier. Il peut exister sur une surface 

 une correspondance birationnelle entre deux ensembles de v points, cor- 

 respondance dépendant de paramètres arbitraires. Le minimum p' du 



