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 où les 2'"""', 3"""",... m -\- 1"^™* colonnes verticales contiennent respecti- 

 vement les termes de la suite potentielle de l'équation donnée, et de ses 

 m — I premières suites dérivées; à la dernière ligne, est inscrite au bas de 

 chaque colonne la limite vers laquelle tend, pour « indéfiniment croissant, 

 le rapport d'un terme au précédent dans la suite correspondante, ou un 

 zéro (par convention), si cette limite n'existe pas ou si tous les ternies de 

 la suite sont nuls. 



» Convenons de dire que cette suite V (ligne des limites) présente une 

 lacune simple, double,., /"i''", lorsqu'il existe ainsi i, 2,... r zéros consécu- 

 tifs en^re deux valeurs effectives de limites; et une séquence (ou lacune 

 nulle), lorsque deux valeurs effectives se suivent sans intervalle. Les con- 

 sidérations précédemment développées conduisent immédiatement aux 

 énoncés que voici : 



» I. Le nombre des racines distinctes de l'équation est m — p, si la suite des v est 

 terminée à droite par p zéros. 



» II. Le nombre des racines réelles positives distinctes est égal au nombre des 

 séquences et lacunes paires avec permanence de signe, plus celui des lacunes 

 impaires avec variation de signe. 



» IIL Le nombre des racines réelles négatives distinctes est égal au nombre des 

 variations de signe. 



» IV. Le nombre des racines imaginaires distinctes est égal au nombre des zéros 

 compris dans les lacunes, (c'est-à-dire abstraction faite de ceux qui peuvent suivre à 

 droite la dernière valeur eflective de limite), plus le nombre des lacunes impaires 

 avec permanence, moins celui des lacunes impaires avec variation. 



» V. Pour que l'équation ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que la 

 ligne des V n'ait pas d'autres lacunes que des lacunes simples avec variation de signe. 



Y 



» VL Toute séquence V/,, V/,+] donne la racine réelle -^t^> avec son signe. 



» VIL Tout couple de valeurs effectives V/,, V/,+2/.+i, séparé par une lacune paire 



2^'"?'=, donne avec son signe la racine réelle ' i / ''T^''^\ et A- couples de racines 



imaginaires conjuguées ayant cette même quantité (prise positivement au besoin) pour 

 module commun. 



» VIU. Tout couple de valeurs effectives V/„ ^ h+ik', séparé par une lacune impaire 



avec variation désigne, donne les deux, racines réelles ± î/ rr^j ^^ ^f^ outre, si 



k > i, k— i couples de racines imaginaires conjuguées ayant pour module commun 

 cette même quantité, prise positivement. 



» IX. Tout couple de valeurs effectives, \ ,„ V/,+2i, séparé par une lacune impaire 

 avec permanence de signe, douue k couples de racines imaginaires coujuguées ayant 



pour module commun t /— rr-^ • 



V ''» 



