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 deux valeurs réelles oii imaginaires de n^, lorsqu'on se donne k et, par 

 suite, les deux coefticients de l'équation, d'un calcul malheureusement 

 laborieux. 



» De k ^ o k k = 0,4367, les deux valeurs de n- sont réelles et posi- 

 tives. L'une, nulle, l'autre, infinie, au début ou pour ^ ^ o, elles vont, la 

 première, en grandissant, la seconde, en diminuant, de manière à devenir 

 toutes les deux n- ^ 0,7179 au moment où k atteint le maximum 0,4367. 

 L'ensemble de ces valeurs de n- et de k, sur un plan où l'on prend n- pour 

 abscisse et k pour ordonnée, représente une branche de courbe s étendant 

 au-dessus de l'axe des abscisses positives, d'où elle émane sous un certain 

 angle à l'origine n- = o et qu'elle rejoint à l'autre extrémité n- = ao, en ne 

 coupant, d'un bout à l'autre, qu'une seule fois chaque ordonnée. 



» Comme la valeur de C, quel que soit n.', s'annule sur l'axe ^ = o des 

 abscisses, la dernière expression (4) du coefficient de débitez, nulle dès 

 lors avec k, devient positive et croît pour k ^ o, lorsqu'on suit sur le plan 

 les lignes N^ const. ou (i — C)(i — /i^)= const. Donc la région comprise 

 entre l'axe des abscisses et la branche de courbe dont il vient d'être parlé 

 constitue la portion du plan à considérer ici; et c'est sur cette branche de 

 courbe que le débit atteint son maximum cherché. En effet, la hauteur A' 

 de l'eau sur la section contractée et, par suite, son rapport R à la hauteur 

 h d'amont, n'ont à décroître, dans cette théorie, à partir de l'état de repos 

 supposé qu'on avait d'abord pour h' = h, que jusqu'au moment où le débit 

 atteint un maximum; car, au delà, même pour un abaissement indéfini du 

 niveau d'aval, le régime du déversoir reste désormais invariable. Or, c'est 

 dire que k ne doit croître, à partir de zéro, que jusqu'à sa valeur pour la- 

 quelle, N restant constant, m devient maximum. Ainsi, la partie du plan 

 que nous venons de considérer sera bien la seule utile dans la question 

 physique, et, la branche de courbe (à coordonnées n", k) qui la li- 

 mite, la seule propre à fournir la racine k demandée de l'équation (28) 

 ou (3o). 



M 11 est cependant bon, pour le problème analytique, d'observer que les 

 valeurs de k supérieures à 0,4367, mais moindres que 0,7374, rendent n^ 

 imaginaire; puis, que, pour k = 0,7374, les deux valeurs de n" redevien- 

 nent réelles, d'abord égales à o,532, et qu'elles restent réelles et positives 

 jusqu'à ^- = GO, en donnant lieu à une seconde branche de courbe, sorte 

 de boucle dont les deux côtés se raccordent asymptoliquement, pourX: = ao, 

 avec l'axe des ordonnées. Cette seconde branche, limftant une région du 

 plan dans laquelle m a décru à partir de la branche précédente, doit cor- 



