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( Ï259 ) 



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et dont la conséquence immédiate est le théorème suivant : 



» Si pour n tendant vers ± oo , le déterminant du premier membre tend (à un fac- 

 teur près indépendant de x) vers une limite déterminée, l'équation ci-dessus tend à 

 admettre pour racines les k racines de plus grand (ou de plus petit) module de la pro- 

 posée; la condition nécessaire et suffisante étant d'ailleurs que le plus petit (ou le 

 plus grand) des modules de ces A' racines soit supérieur (ou inférieur) à celui des 

 p — /i autres. Si cette condition n'est pas remplie, l'équation ci-dessus tend tout au 

 moins à admettre les k' {k'<i k) racines de la proposée dont les modules sont tous su- 

 périeurs (ou inférieurs) à ceux des /> — k racines de plus petit (ou de plus grand) 

 module de la proposée ('). 



)) Si on voulait utiliser directement ce théorème on aurait, dans le cas 

 considéré plus haut, à résoudre une équation de degré r, au moins égal 

 à ir' . V 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les intégrales définies suivant les diviseurs. 

 Note de M. N. Bougaïef, présentée par M. Darboux. 



« L'intégrale définie suivant les diviseurs 



est une somme des fonctions 0(ûf) prises pour tous les diviseurs d du 

 nombre entier n entre les limites a et b inclusivement. 



(') La première partie de ce théorème très général, dont on peut déduire toute la 

 théorie de la résolution des équations par les suites récurrentes, paraît avoir été éta- 

 blie en 1898 par M. Auric, dans une thèse dont je n'ai pu me procurer le texte. Elle 

 se trouve démontrée dans un Mémoire étendu, publié cette année même par M. Cohn 

 dans les Math. A/in., et dont je n'ai eu connaissance qu'après la présentation de mes 

 deux Notes précédentes. Dans ce Mémoire M. Cohn développe, avec plusieurs appli- 

 cations numériques à l'appui, une méthode de résolution fondée sur les mêmes prin- 

 cipes, bien que différant, par un certain nombre de détails, de celle que j'ai résumée 

 ci-dessus. 



