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 » Jusqu'ici, l'analyse est exacte, mais Legendre en conclut que les va- 

 leurs de n sont de la forme v + {h- — 4fl!c)R, R étant une indéterminée, 

 ce qui est erroné. L'erreur consiste en ce que les quantités représentées 

 par S et ^ sont divisibles par Ir — \ac ei que les équations du premier de- 

 gré ne satisfont plus à la condition que les coefficients des inconnues soient 

 premiers entre eux. En effet, l'application de la méthode de Legendre à 

 l'équation (2) conduit à la transformée 



(^) ^^5^|^^" + (2«N + &):.'« + a(è»-4«r)A^= = ±i, 



où N désigne une variable auxiliaire telle que aN^-H èN + c soit divisible 

 par (&■ — [\ac)S., et n une autre variable liée à y' et ;;, par la relation 

 y'=: Nr-'H-(Z>- — 4«c)A7z; et, dans ces conditions, les coefficients îî et Ç 

 seront, à un facteur i près, 



( i:=(2aN + />)/,+ 2«(ft^-4«c)A«', ; 



(7) W v/ , /7 2 / \Ar/ ivr , 7\ ' , aW+b'S + c ,1 

 I S = NC + (i=-4«f')A|^(2aN + i)M, + 2-^^^— ^^^^y^ y,J, 



y\ et n\ désignant une première solution de l'équation (G). (3r, />N"H- />N + c 



étant divisible par (b' — 4«c)A : ^[(aaN + b)- — (b- — 4ac)]est divisible 



par(/j^ — 4«c)A. Donc, (2aN+ b), etpar suite, !^ est divisible par (A^— 4ac) 

 ainsi que S. 



» Les équations de Legendre sont donc en défaut. Mais il faut et il suffit 

 que (a, + y ) ainsi que (jî + e) soient divisibles par (P — '^ac) si n est pair 

 ou (y(p + a) et (eçp -f- p) si n est impair. I^es équations, se réduisant alors 

 à la forme A + 2Bw = e sont satisfaites par toutes les valeurs entières de 

 m, et, par suite, n varie suivant une progression arithmétique, donc la 

 raison est 2, et non {b^ — [\ac). 



D On tirerait immédiatement la même conclusion de la loi de récurrence 

 qui lie trois solutions consécutives des équations de la forme (2) et que 

 Legendre a établie. Cette considération même suffit et peut remplacer 

 l'analyse du Chapitre XIL De là, on conclut la règle suivante : 



» Étant données deux solutions consécutives de l' équation (2) y',, z\ ; y!,, 

 x;!, ; si aucun des systèmes y\ + a, z',^ + P; jl + «, ^„ + p nest divisible par 

 (b- — 4'^'^) l'équation proposée n'est pas résoluble en nombres entiers. Si l'un 

 ou l'autre est divisible, à tous les systèmes de même parité que celui-là, corres- 

 vondra une solution de la proposée. 



