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» Les systèmes y,, z\; y'^, z'^; ... forment une série récurrente dont 

 l'échelle de relation est (29, — i). Les termes de cette série, pris de deux 

 en deux, formeront une nouvelle série récun'ente de même échelle avec un 

 terme additionnel constant, ou, ce qui revient au même, une série récur- 

 rente de troisième ordre dont l'échelle de relation est de la forme 



Cette règle comporte une exception quand a, b, c ont un facteur commun h 

 (cas étudié trop sommairement par Legendre dans une Noie du même 

 chapitre). En chassant ce facteur, on obtient une réduite 



a' y"- + h' y" z" + c' z"- = {()"' - \ a'c')^', 



et les quantités j" -t- a', c"-t- [i' devront être divisibles non seulement par 

 {h'- — 4«'c') mais par h. On voit aisément que ces quantités divisibles se 

 reproduiront suivant une certaine période dont la raison ne sera plus le 

 nombre 2, mais un nombre dépendant du facteur h ; et les solutions x et y 

 de la proposée formeront encore une série récurrente du troisième ordre 

 dont l'échelle se déduira également du nombre h. 



» En résumé, toutes les solutions entières d'une équation quelconque 

 du deuxième degré dans laquelle (è" — 4«c)est >o et non carré peuvent 

 se grouper, pour chacune des inconnues, suivant une ou plusieurs séries 

 récurrentes dont l'échelle de relation sera, en général, du troisième ordre, 

 de la forme (X, ~\, -i- i), et s'abaissera au deuxième ordre, avec la forme 

 (p., — i) pour celle des inconnues qui n'entre pas au premier degré dans 

 l'équation. 



)) Lorsque (6^ — l\ac) := o, les solutions sont aussi groupées suivant des 

 séries récurrentes du troisième ordre; mais l'échelle de relation a des 

 coefficients constants, savoir (3, — 3, + i), parce que les deux inconnues 

 sont, dans ce cas, des fonctions algébriques entières du deuxième degré 

 d'une même variable 6. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation des courbes gauches algé- 

 briques et sur une formule irHalphen. Note de M. Léo\ Auto.xne, pré- 

 sentée par M. Jordan. 



« Prenons une courbe gauche algébrique indécomposable G, de degré n. 

 Elle peut, conformément à des théories classiques, être représentée par 



