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 les équations 



y" est un polynôme indécomposable de degré n; les deux polynômes Pq et 

 P,, dénominateur et numérateur de :;, ont pour degrés r et r +■ i respec- 

 tivement. Appelons enQn g la courbe/ (a?, y) = o, projection de G. 



» On peut, sans changer G, remplacer P,, et P, par deux autres polynômes 

 Pg et P',, de degrés r' et /-'-h i, choisis à volonté, pourvu seulement que 

 l'expression P', P„ — P'^ P, soit divisible par/. Il y a ainsi dans la représen- 

 tation de G une dose d'arbitraire qu'il est intéressant d'évaluer. Dans son 

 grand Mémoire Sur la classification des courbes gauches algébriques, Hal- 

 phen, excluant les courbes à points multiples, énonce une proposition que 

 voici : Peut être pris pour dénominateur de z tout polynôme^ ^, qui s' évanouit 

 en chaque point double apparent. 



» Etendant l'analyse d'Halphen à des courbes munies de singularités 

 quelconques, je parviens à l'énoncé suivant : 



» Théorème. — Peut être pris pour dénominateur de z tout polynôme tel 

 que la courbe P„ =: o : i° passe par chaque point double apparent; i" coupe 

 chaque cycle de g, issu d'un point multiple m, en a points confondus avec m, 

 a ne pouvant être inférieur à un nombre fixe r,^. 



» J'ai calculé la limite inférieure n^ de g à l'aide des développements en 

 série, qui fournissent les coordonnées du point courant sur G aux abords 

 du point multiple. La démonstration, qui est une application du théorème 

 bien connu de M. Nœlher, est trop longue pour être reproduite ici, mais 

 une seconde limite inférieure pour c, savoir g'„ avec <T^=ffo> peut être définie 

 en quelques mois. 



» Supposons que du point multiple m, où nous pouvons placer l'origine 

 des coordonnées, soient issus M cycles C,[î = i, 2, ..., M], d'ordres «, 

 respectivement. Les équations des w, branches de G; seront 



I ^ ( fy= I, 2, ...,«,] ) f 



ô, == racine primitive /;/'""' dé l'unité, a\\ étant holomorphe en x, 



[5=0, I, 2, ..., Ui— i] 



» Posons <^ (a) ^ TT {u — y,y) ; <I> sera un polynôme en u à coefficients 



holomorphes; sera aussi holomorphe le discriminant D(a;)de l'équation 

 algébrique en u, $ (m) = o. 



