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 » Par simple multiplication et tenant compte de ;"■ = x, je forme 



[5 = 0, I, ...,«,-i]. y^=2fl';:(/,0/y. [/=r,2, 3, ..., «,-1]. 



Sera holomorphe en œ le déterminant n,(.r) des 



a'Il, \s = I, 3, .... n,- 1]. 



» Si afi est la plus hante puissance de ce qui divise le produit DD,, p, est 

 la limite c'^, ci-dessus définie, qui est relative au cycle C,. 



1) Voici quelques applications du théorème : 



» Un point double ou de rebroussement sur G n'impose aucune sujétion 

 à la courbe ?„= o. Un point [;."?'"', à tangentes séparées, fait apparaître sur 

 Po = o un point ([;. — 2)"''''=. 



» Aucune sujétion n'est imposée à la courbe P„ = o par un point mul- 

 tiple m de G, si par G passe une surface qui admette en m un plan tangent 

 unique. 



» Le théorème ci-dessus m'a permis aussi de généraliser une importante 

 formule d'Halphen, relative au nombre, X, des conditions qui expriment 

 que G est située sur une surface algébrique de degré N. 



» La formule d'Halphen, qui suppose l'absence sur G de points nvdliplcs, 

 est 



X = «N + i — p -\-u. 



p est le genre de G. Ij'entier non négatifs dépend de la configuration du 

 groupe constitué par les m pointsy= Po = o. Halphen ne donne aucune 

 règle générale pour évaluer n et se borne à indiquer quelques cas, et = o. 

 En réalité, Halphen démontre simplement que X est compris entre 

 nN + i — petnN-f-r. 



» Pareillement, pour une courbe G à singularités quelconques, je 

 démontre la formule 



X = «N + I — /> — illi, + Tô. 



La sommation 1 s'étend aux divers points multiples; iiL est le nombre qui 

 mesure V abaissement du genre produit par le point multiple. L'entier non 

 négatifs dépend de la configuration du groupe A formé par les rn points 

 /=P„ = o. 



» Pour avoir ift, il suffît de connaître les développements en série affé- 

 rents au point multiple. Pourra, ce nombre s'obtient sans difficulté quand 

 la courbe G est donnée. Si l'ensemble des courbes planes de degré /■ + N, 



c. H., i8ç)',, 2« Semestre. (T. CXIX, N» 20.) III 



