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 les fondions <I> sont holomorphes, il existe un système de fonctions «,, 

 Mo, ..., «m 6t un seul, vérifiant le système (j), holomorphes au voisinage du 

 point il-, ^ rt, , . . ., a:„ ^ a„, et telles que l'on ait 



pourvu que les fonctions '|,, A,,, ..., '|,,,__, soient des fonctions de a;^» •••< 

 a-„ régulières au voisinage du point a^, .. ., a„, et telles que l'on ait 



ALGÈBRE. — Sur un théorème de M. Bertrand. Note de M. Carta.v, 

 présentée par M. Picard. 



« Il existe un certain nombre de démonstrations du célèbre théorème 

 de M. Bertrand : 



)) 5/ une /onction rationnelle de n lettres prend plus de deux valeurs distinctes 

 par l'ensemble des substitutions effectuées sur ces n lettres, elle en prend au 

 moins n, sauf toutefois dans le cas n = 4- 



» On n'a pas encore, je crois, remarqué que ce théorème dérive immé- 

 diatement de ce fait que le groupe symétrique de n lettres n admet, dans le cas 

 où n est différent de [\, d'autre sous-groupe invariant que le groupe alterné, 

 proposition qui se démontre d'ailleurs par des procédés tout à fait élémen- 

 taires. 



» Il suffit d'observer en effet que si une fonction rationnelle F de « lettres 

 prend j9 valeurs distinctes lorsqu'on effectue sur ces n lettres les substitu- 

 tions d'un groupe G, ces^ valeurs sont échangées entre elles par un groupe 

 r nécessairement transitif et isomorphe au groupe G. L'ordre de ce groupe 

 r est donc à la fois un multij)le dep et un diviseur dejo!. 



)) En particulier, si G est le groupe symétrique, l'ordre de tout groupe 

 r isomorphe à Gne peut avoir que l'une des valeurs ni et 2. Dans le premier 

 cas, n\ ne peut diviser pi que si p est au moins égal à n; dans le second 

 cas, 2 ne peut être un multiple de p que si p est égal à 2. Donc toute fonc- 

 tion rationnelle de n lettres qui prend plus de deux valeurs par les substi- 

 tutions du groupe symétrique en prend au moins n. 



» Le fait que le groupe alterné est simple, toujours si n est différent de 

 4, montre que toute fonction rationnelle non alternée de n lettres prend au 

 moins n valeurs par les subtitutions du groupe alterné. » 



