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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les permutations quasi alternées. 

 Note de M. Désire Anuké. 



(( Prenons une permutation quelconque des n premiers nombres; et, 

 dans cette permutation, retranchons chaque nombre du suivant. Nous 

 obtenons une suite de n — i différences, les unes positives, les autres 

 négatives. Lorsque cette suite ne présente aucune permanence, la permu- 

 tation est alternée ; lorsqu'elle en présente une, mais une seule, la permu- 

 tation est quasi alternée. 



» Jai étudié autrefois les permutations alternées. Je viens d'achever un 

 Mémoire sur les permutations quasi alternées. Je considère, dans ce Mé- 

 moire, les permutations des n premiers nombres; je désigne par A„ la 

 moitié du nombre, toujours pair, de celles qui sont alternées, et par B„ la 

 moitié du nombre, toujours pair aussi, de celles qui sont quasi alternées; 

 je conviens de donner aux symboles Aq, A,, B,,, B,, B2, qui n'ont par 

 eux-mêmes aucun sens, les valeurs i, i, — i, — i, o. En employant ces 

 notations et conventions, et m'appuyant sur les propriétés connues des 

 permutations des n premiers nombres, j'arrive à des résultats assez nom- 

 breux, qui me paraissent intéressants et dont je vais énoncer les prin- 

 cipaux. 



» I. Les nombres A et les nombres B sont liés entre eux par l'égalité 



An+1 = 2A„+ 1>„, 



qui est vraie pour toutes les valeurs entières et non négatives de n. 



» II. Le nombre B„ n'est autre chose que le coefficient de ^ dans le déve- 

 loppement de la fraction 



1 — 2 cos X 



: ) 



suivant les puissances croissantes de œ. 



)) III. Le nombre B„ est aussi juste égal au coefficient de "— dans le déve- 



n ! 



loppement^ suivant les puissances croissantes de x, du produit (sécir — 2) èëcx, 

 si n est pair ; du produit (séca? — 2) tanga;, si n est impair. 



