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 » 2° Que la racine déplus grand (on de plus petit) module soit unique de 

 ce module, ce qui exclut le cas de deux racines réelles égales et de signes 

 contraires, et celui de deux racines imaginaires conjuguées; dans ces deux 



cas, en effet, le rapport -^^ ne tend vers aucune limite déterminée. 



» Ces restrictions ont empêché jusqu'ici de considérer l'emploi des 

 suites récurrentes comme fournissant un procédé régulier et sur pour le 

 calcul par approximation des racines des équations numériques, bien que 

 M. Laisant ait donné (') une formule qui fait disparaître la seconde des 

 restrictions ci-dessus, et que récemment M. d'Ocagne ait indiqué (-) un 

 moyen simple de vérifier l'irréductibilité de l'échelle d'une suite donnée, 

 et de former a priori avec une échelle donnée des suites certainement irré- 

 ductibles. Il subsiste encore en effet cette grave objection, que la première 

 racine « étant supposée ainsi calculée approximativement, il faut, pour ob- 

 tenir les suivantes, opérer à nouveau de la même manière sur une autre 



équation ^ — - = o, dont tous les coefficients ne sont plus qu'approchés, 



en sorte que les erreurs s'accumulent à mesure qu'on avance dans les 

 calculs. 



M En reprenant celte question, j'ai rencontré certaines propriétés des 

 suites récurrentes qui paraissent n'avoir pas encore été signalées, et qui, 

 en tout cas, conduisent, comme on le verra, à un procédé remarquable- 

 ment simple et net de séparation et de calcul des racines des diverses ca- 

 tégories. Je me bornerai ici à donner l'énoncé de ces propriétés et de leurs 

 conséquences immédiates, me proposant de les démontrer ailleurs avec 

 tous les développements nécessaires. 



» Soit donc une suite récurrente U d'ordre /j, savoir 



» Désignons par U', U", ..., U<'', ... et appelons V''% 2""'"% .... Â'''"'*' 

 suite dérivée de U les suites dont les termes généraux seraient respective- 

 ment les déterminants 



,(/.! 



*rt+A 



'k+A 



'■ni-lk 



(') Bulletin des Sciences maLhérnatiques, 1881. 



(') Journal de l'École Polytechnique, LXIV'' Cahier, 189^. 



C. u., ,!^g'|, 2' Semestre. (T. GXIX, N» 24.) 



