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 et qu'un théorème connu nous apprend déjà être récurrentes d'ordre au 

 plus égal à /y-, . . ., /j* 



» I. La A'"^™<! suite dérivée est récurrente et d'urdic au plus égal à 



i.-i...{k + i) 



En particuliei-, la p — i''^'"'' suite dérivée est d'ordre i; c'est donc une progression géo- 

 métrique, et la raison de cette progression est égale (au signe près, poury^ impair) au 

 rapport des coefficients extrêmes de l'équation génératrice d'ordre maximum p Aq U. 

 Les suites dérivées d'ordres p et au-dessus ont tous leurs ternies nuls. 



1) De là déjà le moyen de savoir si une suite récurrente donnée comme 

 d'ordre p est réductible à une échelle d'ordre moindre. Il suffit de cal- 

 culer un terme quelconque M^f" de sa/> — i"^^"'* suite dérivée : si ce terme 

 est nul, l'ordre est réductible. On calculera alors un terme quelconque 

 de lap — a'"^^""* suite dérivée (par exemple u\f^'\ qui se déduit de «Jf^" en 

 supprimant la dernière ligne et la dernière colonne); si ce terme est encore 

 nul, on continuera de même jusqu'à ce qu'on arrive à un déterminant 

 différent de o : l'ordre de ce déterminant sera l'ordre minimum de la 

 suite U. Ce critérium ne diffère d'ailleurs que par sa forme, plus condensée 

 et plus commode pour les applications, de celui de M. d'Ocagne. 



» II. Si y(x)r=o est l'équation génératrice d'ordre ininiinuni de U et a toutes 

 ses racines distinctes, l'équation génératrice d'ordre minimum de U'''' a aussi toutes 

 ses racines distinctes, et ce sont toutes les valeurs distinctes que peut prendre le 

 produit de /.' -+- i racines de_/ ( j). 



» Si donc le rapport -^^f tend vers une limite déterminée pour n crois- 



sant indéfiniment en valeur positive (ou négative), cette limite est le 

 produit des k -h i racines de plus grand (ou de plus petit) module dey'(j;) 

 et toutes les autres racines ont des modules moindres (ou plus grands); 

 et réciproquement. 



» III. La proposition II est encore exacte, si f{x) = o a des racines multiples ou 

 n'est pas l'équation génératrice '^{x) =^ o d'ordre minimum /^ de U, pourvu que ç{.i') 

 ait bien toutes ses racines distinctes, et (\uef{jc) n'en admette pas de distinctes de 

 celles de <^{x); autrement dit, pourvu que «„ puisse être identifié avec l'expression 



a,x'; ^ï^x'l H-...+ ■^i.xl-, 



uii Xiy œ^, . . . , Xp sont les/j racines distinctes de u(x) comme de /'(x), et x,, a.,. . . ., ï^ 

 des coefficients tous constants et difiéieuts de zéro. 



