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écarté, bien que Tailleur y ait fait preuve d'un esprit ingénieux; car il 

 traitait un sujet qui ne se rapportait qu'indirectement à la question pro- 

 posée. 



Les Mémoires n"^ 1, 2, 3 ont été retenus par la Commission. 



Dans la première partie du Mémoire inscrit sous le n° 3, sont déve- 

 loppés des théorèmes d'un caractère très général, offrant un grand intérêt 

 analytique; ils sont relatifs aux intégrales premières d'un système d'équa- 

 tions de Lagrange 



dt \dx' J dxi 



Les intégrales premières dont on veut faire la recherche sont supposées 

 être des fonctions données des paramètres, de leurs dérivées x' et àek let- 

 tres L,, . . ., L^ qui sont des fonctions inconnues des x. Il s'agit d'étudier 

 la nature des équations permettant de déterminer ces fonctions L, quand 

 elles existent. Bornons-nous, pour donner une idée des résultats obtenus, 

 aux cas les plus simples quoique déjà suffisamment généraux. En premier 

 lieu, on ramènera toujours la recherche des intégrales entières et de degré 

 donné par rapport aux vitesses à l'intégration d'une équation linéaire ordi- 

 naire. La recherche des intégrales rationnelles et de degrés donnés au 

 numérateur et au dénominateur présente beaucoup plus de difficultés; 

 elle dépend d'une équation différentielle ordinaire dont les intégrales ont 

 leurs singularités fixes en dehors des pôles. Il est bien remarquable de voir 

 intervenir ici tout naturellement une classe d'équations différentielles, 

 qui a déjà fait l'objet de divers travaux, mais qui ne s'était présentée encore 

 dans aucune application. On sait d'ailleurs que les difficultés d'intégration 

 de ces équations sont bien différentes suivant que les constantes peuvent 

 être ramenées ou non à figurer algébriquement dans l'intégrale générale. 

 L'auteur montré que l'on pourra reconnaître, par des calculs algébriques, 

 si l'on se trouve dans le premier cas, et alors le problème proposé se ra- 

 mène à une équation linéaire. 



Il est utile de comparer les intégrales du système proposé avec celles du 

 système sans forces, c'est-à-dire oîi les Q sont nuls. Nous trouvons d'abord 

 cette première remarque que, si l'on sait déterminer toutes les intégrales 

 entières de degré v et de degré inférieur du système sans forces, on pourra 

 déterminer les intégrales d'ordre v du système (A), quels que soient 

 les Q, cela sans intégration si le degré est impair, et par quadratures s'il 



