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est pair. Un théorème analogue est établi pour le cas des intégrales ration- 

 nelles, avec cette différence toutefois que la détermination des intégrales 

 rationnelles du système avec forces exige, en général, la connaissance de 

 toutes les intégrales rationnelles du système sans forces. 



De ces propositions résultent des conséquences importantes. D'après ce 

 que nous avons dit plus haut, le seul cas facilement accessible est celui 

 où les constantes entrent algébriquement dans l'intégrale générale d'une 

 certaine équation différentielle. On sera assuré que cette circonstance se 

 présente dans la recherche des intégrales rationnelles du système proposé, 

 si elle se rencontre pour le système sans forces. Citons notamment les cas 

 où la force vive dépend algébriquement des x et oîi les géodésiques cor- 

 respondantes sont algébriques. On obtient ainsi des exemples étendus où 

 la recherche des intégrales rationnelles et, par suite, des intégrales algé- 

 briques peut être systématiquement effectuée. Appliquant ces généralités 

 à la recherche des intégrales du problème des n corps, algébriques par 

 rapport aux vitesses, l'auteur est conduit à la conclusion qu'elles ne peu- 

 vent être distinctes des intégrales connues. Il généralise ainsi un théorème 

 de Bruns, qui était arrivé à un résultat analogue, mais en supposant les 

 intégrales algébriques non seulement par rapport aux vitesses mais'aussi 

 aux coordonnées, théorème auquel M. Poincaré avait déjà donné une 

 grande extension dans une direction différente. 



Nous insisterons moins sur la deuxième Partie du Mémoire, qui se rat- 

 tache à des problèmes dont des cas particuliers ont fait dans ces dernières 

 années l'objet de nombreuses études. Prenant un système quelconque 

 d'équations différentielles du second ordre où la variable t ne figure pas 

 explicitement, l'auteur se propose de reconnaître si ces équations défi- 

 nissent les mêmes trajectoires qu'un système convenablement choisi 

 d'équations de Lagrange. Il suppose même d'abord que dans celles-ci la 

 fonction T puisse être une fonction quelconque des x' et examine ensuite 

 le cas de la Mécanique où T est quadratique. Dans cette étude, qui se re- 

 commande par l'élégance des méthodes employées, deux cas sont à dis- 

 tinguer suivant que les trajectoires dépendent de 2« — i ou de in — i con- 

 stantes arbitraires. Les cas les plus intéressants sont ceux où les trajec- 

 toires correspondent à plusieurs systèmes d'équations de Lagrange; il y a 

 d'ailleurs toujours dans ce cas des intégrales quadratiques, et c'est ains 

 que cette seconde Partie se rattache à la question mise au concours. 



Le troisième Chapitre est consacré particulièrement aux systèmes de 

 Lagrange correspondants et aux groupes de transformations des trajectoires. 

 L'énumération de tous les systèmes à deux paramètres qui sont correspon- 



