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J/auteur du Mémoire n° 1 s'est borné au mouvement d'un point maté- 

 riel dans le plan et dans l'espace, en supposant que les forces dépendent 

 des seules coordonnées, sans dériver d'un potentiel. Ses recherches se 

 divisent en deux parties, suivant que les intégrales considérées sont ou ne 

 sont pas indépendantes du temps. 



Pour le mouvement plan, on sait que M. Bertrand a déterminé les 

 lois de forces qui assurent l'existence d'une intégrale quadratique indé- 

 pendante du temps. L'auteur, poursuivant ces recherches, détermine les 

 lois de forces qui assurent l'existence de deux ou trois intégrales quadra- 

 tiques; il résout complètement le problème en montrant que, par une 

 transformation homographique, on peut le ramener à la recherche des fonc- 

 tions de forces pour lesquelles il existe une ou deux intégrales quadra- 

 tiques, outre celle des forces vives; ces fonctions de forces sont celles qui 

 ont été données par Liouville. Pour le mouvement dans l'espace, l'auteur 

 généralise les résultats de M. Bertrand et une partie des siens; puis il 

 résout le problème de trouver toutes les fonctions de forces propres à 

 assurer l'existence de deux intégrales quadratiques en involution : cette 

 question comprend tous les problèmes de mouvement d'un point matériel 

 que la méthode de Liouville et la méthode récente de M. Stâckel permet- 

 tent d'intéerer. 

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Considérant ensuite, pour un mouvement plan, le cas des intégrales 

 linéaires ou quadratiques contenant le temps, l'auteur partage ces intégrales 

 en deux genres, suivant qu'elles contiennent le temps sous forme algé- 

 brique ou transcendante. Il détermine toutes les lois de forces pour les- 

 quelles il existe une ou plusieurs intégrales de l'un ou de l'autre genre; 

 pour le second genre, la solution du problème est ramenée à l'intégration 

 d'une de ces équations différentielles ordinaires du premier ordre et du 

 premier degré, dont M. Darboux a donné la théorie, et qui s'intègrent à 

 l'aide d'un certain nombre de solutions particulières. 



La Commission décerne une deuxième mention honorable à ce Mémoire 

 n" 1, portant pour devise : 



Au soleil couchant, 

 Toi qui vas clierchanl 



Fortune, 

 Prends garde de choir; 

 La terre, le soir. 



Est brune. 



