206 H. AMSTEIN 



Ainsi l'égalité précédente ne saurait subsister pour r =■= 1. En 

 effet, on sait que son premier membre 



1 



Tn-l — rfm-l ni n 



-: — 7 — («=loe — > 

 log £ e m 



o 



ce qui, en général, est différent de zéro, tandis que son second 



î 



F 



membre, I r — , est manifestement nul. 

 ' J log x ' 



î 



Pour une valeur déterminée de la limite supérieure x, l'inté- 

 grale 



X 



J = \ , ilx 



o 



peut être considérée comme une fonction continue d'à. Dès lors 

 il est possible, à l'aide de la série de Taylor, de passer de J à 



x 

 r .«+/3— 1 



J, = I ~ j «.£ , 



o 

 où ,6 est un nombre réel quelconque, mais tel que a + j8 >0. 

 A cet effet on formera les dérivées successives de J par rapport 

 à la variable y. . 



On a 



,.«-i loir x r .," 



> i r* , ■"■— i lOtl' .' (* i" 



-f- = f^-^ g — dx= \j<-idx=*-,(">0) 

 da J log.r J * 



o c 



y-J _ a \ log a; _1_1 



^J_ riog^; ^ logs , 2!-] 

 y - '' [ a " - ce- ^~cc 3 ]> 



En appliquant le théorème de Leibnitz, à savoir 



cV'inr (fu â?~ U dv . 



—rir=—-p - V +Py7=\ • Toc + 



dx (h. ay. 



/> p—\)d v ~~n d'y _ du <l''~ ] v d p v 



