NOTE SUR LE LOGARITHME-INTÉGRAL 213 



II 



Dans la suite on envisagera le logarithme- intégral comme 



une fonction de la variable complexe z=x-j-yi et l'on étudiera, 

 pour autant iiue cela parait utile, la représentation transmise 

 par la fonction 







L'original dans le plan (z) et l'image dans le plan (Ç) sont, 

 en général, semblables dans leurs éléments infiniment petits, 

 ce qui veut dire que les angles correspondants dans les deux 

 plans sont égaux. Les points singuliers, c'est-à-dire les points, 

 où la représentation cesse d'être semblable dans les éléments 

 infiniment petits, sont ceux où la dérivée de la fonction consi- 

 dérée devient zéro ou infiniment grande. Dans le cas actuel où 



ce sont les points z = 



1) Pour reconnaître la nature de la fonction .^au point z= 1, 

 il suffit de développer cette dernière, dans le voisinage de ce 

 point critique, en une série ordonnée suivant les puissances de 

 (z — 1). A cet effet, soit 



?. 



= 1+"*, dz = dt, 



et Ç, la valeur (infiniment grande) que prend 'C pour^= 1 ; on a 

 alors 



r dt ç dt cm/ 1 w 



Ç »-Jlog(lH-0."~J*—!* , + ..~~J t\ l ~2 t+ "-) ~ 



t. 



= ff(l+^...)=logt+. 







et Ton voit que t = ou 8=1 est ce qu'on appelle un pôle 

 logarithmique. Il s'ensuit, par exemple, que si le point z, parti 

 de l'origine et arrivé en z = 1 , décrit une demi-circonférence 

 autour de ce point comme centre et avec un rayon aussi petit 



