214 II. AMSTEIN 



qu'on voudra, dans le sens positif (celui des angles croissants), 

 pour continuer ensuite son chemin le long de l'axe réel, la 

 fonction £ prend , correspondant à cette demi-circonférence , la 

 composante imaginaire -\-7zi et continue ensuite son chemin 

 parallèlement à l'axe réel du plan (<£). A un demi-tour autour 

 du point z = t, dans le sens négatif, correspond la composante 

 imaginaire — rti de la fonction £, et en général, à un arc de 

 cette même circonférence dont Tangle au centre est égal à 

 ±(2w + 1)tï, où m signifie un nomhre entier positif, répond, 

 dans le plan ( £ ) . la composante ± (2m + 1) ~i . La surface de 

 Riemann, destinée à transformer la fonction £ en une fonction 

 uniforme, se compose donc d'une infinité de feuillets qui passent 

 l'un dans l'autre de la manière connue le long des lignes de 

 passage établies de z = 1 à z = ^° . On a déjà vu que pour des 

 z réels £ est négatif de z = 0k z=l, et devient — =« en z = l. 

 I >ès que z a dépassé ce point et se meut le long de l'axe réel 

 jusqu'à z= =*> , '£, décrit l'une des droites r, = ± {'2m -j- 1 ) - de 

 ; = — =*> jusqu'à ç = -f- ^ . 



2) Le point z=0 est comme dit M. Graf (1. c. pg. 54) un 

 pôle d'une nature toute particulière. Le moyen le plus efficace 

 d'étudier la fonction £ dans le voisinage de ce point est, sans 

 doute , celui de déterminer par un petit nombre de points les 

 images de quelques droites, partant de l'origine et allant à 

 l'infini. A cet effet soit 



z = pe?\ 



où p est une variable réelle qui ne prend que des valeurs posi- 

 tives et œ la mesure circulaire d'un angle constant, Alors z 

 décrit une droite, partant de l'origine et faisant l'angle cp avec 

 l'axe positif des x . (y=tgcp. x, # = 0, . . . :*>). Par la substitu- 

 tion 



z=pe ( ? i ,dz = e ( ? i dp 



la fonction £ se transforme en 



£ = Ç e ï d ± = *+ C—ÊL = & f i^'MllL d , = 

 J loo-ioe^) J log/5+©« J log*/5-+-<P s ' 



iyj o\r c l ii o 



J log^-h?" J \og*p 







