NOTE SUR LE LOGARITHME-INTÉGRAL 225 



est une quantité positive etvp un angle compris entre — r. et-Hr, 

 déterminé par les équations 



. logo . tp+2&7C ®+2/wr 



cosi> = , — , sin4 = ,' ,tg-!> = L 1 • 



^/log 8 o-K? + 2fc7r. a ' ^/log*o+ ? -+-2A;-;- l°ëP 



L'intégrale J peut encore être calculée au moyen de la série 



2kx. 



i ■ -■ 



1! 



(7) J^ = C , -hlogv/log 2 o + ( ? -h2fc7:« + ^H-S( 5 ) + S , V 



I ° _S"(s)^^^+. . .^S^(,)^4^-f. 



où l'on a posé, comme précédemment, 5 = log p . 



La constante C 1 doit être déterminée de telle façon que l'in- 

 tégrale prenne la valeur zéro pour p — 0. On reconnaît aisé- 

 ment que 



suivant que k est positif ou négatif, ou si & = 0, suivant que <p 



est positif ou négatif. Il est évident que dans le cas, où /,• ^0, 



l'image de l'axe réel positif n'est plus une droite. A cause des 

 valeurs relativement grandes de (<p-t-2fc/r), la série (7), tout 

 en étant convergente dans le plan entier, ne se prête guère au 

 calcul numérique. 



De l'étude et des calculs qui viennent d'être faits, il découle 

 la construction suivante. Comme on a l'habitude de le faire 

 quand on considère le log z dans toute sa généralité, on peut se 

 figurer que le plan (z) se compose d'une infinité de feuillets 

 conformément aux valeurs multiples du nombre entier k. Un 

 feuillet, F , sera assigné au logarithme principal, pour lequel 

 k=0 et log 1=0; le feuillet F^, au-dessous de F et le feuillet 

 F— k, au-dessus de F , seront destinés à représenter les mêmes 

 valeurs de z , mais dont les logarithmes diffèrent du logarithme 

 principal respectivement des quantités ± 2 kzi. Tous les feuillets 

 seront coupés le long de l'axe réel depuis l'origine jusqu'à — =0 ; 

 ensuite on reliera le bord positif (0 = 4-7?) de chaque feuillet 

 au bord négatif du feuillet qui se trouve immédiatement au- 

 dessous et le bord négatif (t= — tt) au bord positif du feuillet 





