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 leur égard, de la première approximation, due à Lagrange et résumée par 

 les deux formules w* = gU, mH = ak. 



» Si fjit désigne l'abscisse pour laquelle h = li,, l'inlégrale de (6) est 



(8) 4/^, -[^ -H e^^'^-'"*+e-V^^Ï- -""]/<. 



» La surface libre est donc symétrique par rapport à la verticale mobile 

 jc = wt, et est tout entière au-dessus du niveau j^ = H. Sa courbure, sensi- 

 blement mesurée par la dérivée seconde de h en x, a pour expression, 

 d'après (5), le quotient par 2IP de 3h{ih, — ih) : il y a deux points 

 d'inflexion seulement, pour h égal aux deux tiers de //,, et, par suite, une 

 seule convexité ou onde formée par le liquide. Le volume fluide Q, qui 

 constitue cette onde, est, par unité de largeur. 



C"M'«'=^\^^ 



h, 



intégrale dont la valeur s'obtient en substituant à la dérivée de jc en h son 

 expression tirée de (6) : on en déduit //, et oj en fonction de Q. 



» Supposons actuellement que l'onde ne se termine pas à son arrière, 

 comme il arrive si elle est produite par une effusion permanente de liquide 

 ou parmi refoulement continu de l'eau vers les j? positifs. Les vitesses «, v 

 ne pourront plus être partout de simples fonctions de x — wt, j; car, si 

 l'onde se propageait d'après les lois précédentes, la surface, représentée 

 par (8), finirait par s'abaisser, du côté des x négatifs, jusqu'au niveau 

 7 = H, où l'eau serait immobile, conséquence impossible dans l'hypothèse 

 d'une onde sans fin. Les expériences de M. Bazin, tout en montrant l'uni- 

 formité du mouvement de propagation de la lame liquide, d'une hauteur 

 constante h(,, qui forme le corps de l'onde, me paraissent établir, en effet, 

 que les renflements placés à sa tète, et dont il appelle le premier et le plus 

 élevé onde iniliale, sont très-variables de forme et de hauteur : la théorie 

 précédente ne s'applique donc plus. Toutefois, une démonstration donnée 

 par M. de Saint-Venant {Comptes rendus, t. LXXI, p. 186, 18 juillet 1870) 

 permet d'obtenir la formule expérimentale de M. Bazin, 



w' = g-(H + i,5Ao), 



même dans le cas où le rapport de //„ à H ne serait pas très-petit. Cette dé- 

 monstration, simple application du théorème sur les quantités de mouve- 

 ment, consiste à considérer pendant un instant ô le volume liquide com- 

 pris, au commencement de cet instant, entre deux sections jc- = jc„, où la 

 piofoudeiu- est H + //„, et x = a,, où elle est H, et à égaler le prodiut 



