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 des Astronomes allemands aura lieu cette année à Stuttgard, du i4 au 

 i6 septembre 1871. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorèmes sur les groupes primitif s ; 

 par M. C. JoKDAN. 



« Les principales difficultés de la théorie des substitutions se rencontrent 

 dans la recherche des groupes primitifs. Les propriétés générales de ces 

 groupes méritent donc une attention particulière; mais on n'en connaît 

 encore qu'un petit nombre. 



» L'nne des plus utiles est la suivante, dont nous avons donné la dé- 

 monstration dans notre Traité des Substitutions et des Equations algébriques, 

 Note C. 



» Proposition 1. — Si un groupe G, primitif et de degré n, contient nne 

 substitution circulaire de degré premier/^, il sera au moins n — p -h i lois 

 transitif. 



» D'où l'on dédnit ce corollaire : 



» Proposition II. — Tout groupe G, satisfaisant à la condition précé- 

 dente, contiendra le groupe alterné, si son degré dépasse la limite 



» Les usages de ces propositions sont nombreux. On en déduit immé- 

 diatement les théorèmes de M. Bertrand et de M. Serret sur les nombres 

 minima de valeurs des fonctions; maison en tire surtout un grand parti 

 dans les recherches, souvent difficiles, relatives à l'abaissement des équa- 

 tions [voir l'ouvrage cité n°^ 446-452 et Note C). Il y a donc quelque 

 intérêt à montrer que ces théorèmes sont susceptibles d'être considérable- 

 ment généralisés. Des éludes récentes nous ont fourni à cet égard les résul- 

 tats suivants : 



» Théorème 1. — Si un groupe G, primitif et de degré «, contient un 

 groupe r dont les substitutions ne déplacent que p lettres et les permutent 

 transitivement (/j étant un entier quelconque), il sera au moins n — p — 25» -+-3 

 fois transitif, q étant un diviseur àe p tel que l'on puisse répartir les lettres 

 de r, de deux manières différentes, en systèmes de q lettres jouissant de la 

 propriété que chaque substitution de F remplace les lettres de chaque sys- 

 tème par celles d'un même système. 



» Si aucun des diviseurs de p ne jouit de cette propriété (ce qui arrivera 

 notanunent si F est primitif, ou s'il est formé des puissances d'une seule 

 substitution), G sera n — /^ + ' fois transitif. 



» Corollaire. — Tout groupe G, satisfaisant à la condition précédente. 



