( 285 



blies dans mon Tniilé des Substitutions (livre IV, clia|iiîre il et chapitre m, 

 § I), relativement au problème de la résolution par radicaux. Permettez- 

 moi de profiter de cette occasion pour vous soumettre quelques remarques 

 nouvelles sur la solution de ce problème (*). 



» Galois adémonlré que, pour qu'une équation irréductible de degré pre- 

 mier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que les substitutions de son 

 groupe soient linéaires. Dès lors, pour s'assurer si une équation donnée est 

 soluble par radicaux, il suffira de former une fonction des racines inva- 

 riable par les substitutions linéaires, mais variable par toute autre substi- 

 tution, de calculer, par la méthode des fonctions symétricjues, l'équation 

 dont cette fonction dépend, et enfin de vérifier si cette dernière équation a 

 une racine rationnelle. Ce calcul n'offrant aucune difficulté ('*), c'est avec 

 raison que l'on s'est accordé à considérer ce théorème de Galois comme 

 fournissant la solution complète du problème de la résolution par radi- 

 caux pour les équations de degré premier. 



» Par les mêmes motifs, il suffirait, pour avoir la solution du problème 

 pour un degré quelconque, de déterminer la forme explicite du groupe des 

 équations cherchées, ou de donner un moyen rapide de les construire. 



» Les groupes dont il s'agit jouissent d'une propriété caractéristique 

 que Galois a signalée; mais leur construction effective n'en présentait pas 

 moins de sérieuses difficultés, que la mort prématurée de ce grand géo- 

 mètre ne lui a pas permis d'aborder complètement. Bornant ses recherches 

 au cas des équations primitives, il a vu qu'il n'existe de semblables équa- 



(*) Cette question est l;i plus importante de la théorie des éijuations; mais j'en ai traité 

 beaucoup d'autres. J'ai notamment établi un lapprochement nouveau entre la théorie des 

 fonctions abéhennes et deux jjrobièmes tjcométriques importants (la détermination des 

 droites sur les surfaces du troisième ordre, et celle des points singuliers de la surface de 

 M. Kummer). 



J'ai obtenu également, dans mes recherches, un grand nombre de théorèmes négatifs. On 

 ne connaissait jusque-là qu'une seule proposition de celle nature, le célèbre théorème 

 d'Abel, sur l'impossibililé de résoudre par radicaux l'équation du cinquième degré. C'est 

 que ces propositions, souvent faciles à prévoir, exigent toujours, pour être démontrées, une 

 analyse approfondie; tandis que d'autres découvertes, plus brillantes par leur nouveauté, 

 sont parfois le résultat d'un hasard heureux. 



(**) Ce calcul sera fort long, s'il s'agit d'une équation numérique donnée au hasard; mais 

 alors la question n'aurait guère d'intérêt. S'il s'agit, au contraire, d'équations résultant d'un 

 problème analytique ou géométrique, leurgroupe sera connu bien avant les coefficients eux- 

 mêmes; j'en ai donné de nombreux exemples {Traité des Substitutions, livre III). 



C. R., 1871, l"- Scmcilre. (T. LXXIl, N» H.) Sg 



