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 est évidemment le même que celui des tangentes parallèles, lequel est ?i, 

 comme quand les tangentes émanent d'un point quelconque; mais il 

 faut y ajouter les normales qui se trouvent à l'infini, comme émanant aussi 

 du point donné à l'infini. Celles-ci sont les normales aux m points de la 

 courbe situés eux-mêmes à l'infini. Le nombre total des normales émanées 

 d'un point situé à l'infini est donc m + n. 



» Cette solution d'une question fondamentale de la théorie des courbes, 

 indépendamment de ce qu'elle laisse à désirer un raisonnement général, 

 donne lieu, dans deux cas différents, à des objections ou difficultés que 

 l'on n'a peut-être pas remarquées. 



» Premièrement : lorsque la courbe proposée passe par les deux points 

 imaginaires à l'infini, appartenant à un cercle, qui sont les points de con- 

 tact des asymptotes du cercle, appelés po/«/5 circulaires, points que nous 

 considérerons ici comme les points doubles de l'involution formée sur la 

 droite de l'infini par les couples de points appartenant aux deux côtés d'un 

 angle droit tournant autour de son sommet, et que nous désignerons par 

 les lettres eetj) lors, dis-je^ que la courbe proposée U", passe par ces deux 

 points, on sait que la normale en un de ces points coïncide avec la tan- 

 gente. Dè.s lors on ne la regarde plus comme coïncidante avec la droite 

 de l'infini, et l'on dit que la courbe n'a plus que m — 2 normales à l'infini, 

 qui, avec les m normales parallèles, réduisent à (^ni -h n — 2) le nombre 

 des normales émanées d'un point. C'est ainsi que pour le cercle le nombre 

 des normales est 2 et non 4, comme il résidterait de la formule générale 

 m -h n, 



» Mais s'il est permis de dire qu'au point e la normale coïncide avec la 

 tangente, on n'est pas fondé à ne pas admettre la droite de l'infini comme 

 une normale au même point e. Car toute droite passant parce point est 

 une normale, puisque deux droites rectangulaires, de quelque point 

 qu'elles partent, sont caractérisées par cette condition de diviser le seg- 

 ment e/ en deux points conjugués harmoniques. Si l'un des deux points 

 coïncide avec e, l'autre coïncide nécessairement avec le même point e. Dès 

 lors deux droites quelconques menées par e sont rectangulaires, et, en 

 particulier, toute droite passant par ce point, y compris la droite e/ elle- 

 même, est normale à la courbe. 



)) C'est cette propriété, que toute droite passant par le point e y est 

 normale à la courbe, qui fait que l'on doit négliger, dans le nombre total 

 des normales menées d'un point, cette droite; ce qui réduit le nombre 

 rn -\- n k m -\- n — 2, A raison des deux points e elj. 



C.R., 1871, 1" Semestre. (T. LXXIl.N» 14.) 54 



