( 396 ) 



» Secondement : lorsque la courbe U^, a pour tangente la droite située 

 à l'infini, le nombre des tangentes parallèles est diminué d'une unité, et 

 par suite aussi celui des normales parallèles; et l'on en conclut que le 

 nombre des normales menées par un point situé à l'infini, et conséquem- 

 raent par im point quelconque, est alors m -h n — i. Mais il semble qu'on 

 (dompte alors la tangente à l'infini comme une normale double, pour faire 

 le nombre m des normales à l'infini. Il y a donc là une vraie difficulté: 

 mais on peut l'éviter par cette considération rigoureuse, que toute droite 

 menée au point de contact de la courbe et de la droite ef est normale à la 

 courbe, de même que toute droite menée à l'un des points circulaires, 

 quand la courbe passe par ces points ; de sorte qu'on doit en faire abstrac- 

 tion dans le nombre des normales menées d'un point donné. 



» Le principe de correspondance, dont j'ai déjà eu à faire de nombreuses 

 applications dans la théorie des systèmes de coniques et de courbes d'ordre 

 quelconque (i), s'applique à la question actuelle, considérée dans toute sa 

 généralité, avec une facilité extrême, et même de deux manières différentes, 

 et donne la solution immédiate, sans aucune ambiguïté, des deux cas par- 

 ticuliers dont il vient d'être question. 



» Ce principe s'applique de même à cette autre détermination qui fait suite 

 naturellement à la théorie des normales, celle du nombre des rayons éma- 

 nés d'un point et qui, après leur réflexion sur une courbe géométrique U^, 

 vont concourir en un point donné. 



)) THÉOBÈME. — Le nombre des normales menées d'un point P à une 

 courbe U^, d'ordre m et de la classe n, est (m + n ). 



» En effet, une droite PX rencontre la courbe en m points; m droites 

 PU, perpendiculaires aux tangentes en ces points, correspondent à PX. 

 Une droite PU de direction arbitraire est perpendiculaire à n tangentes; 

 par les points de contact de ces tangentes passent n droites PX qui corres- 

 pondent à PU. Il existe donc [ni-\-n) droites PX coïncidant chacune 

 avec la droite correspondante PU; ces droites sont les normales deman- 

 dées. Ainsi le théorème est démontré. 



» Cas particuliers. — I. I;Oi'sque la courbe U^^, passe par les deux points 

 circulaires à l'infini e, /, si l'on mène la droite PX par le point e, 

 la tangente en ce point lui est perpendiculaire, de sorte que PU 

 coïncide avec PX, ce qui forme luie solution étrangère; et de même à 



(l) Comptes ririfluf, t. LVIII, p. ii^S; 1864. 



