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 l'égard du point y. Le nombre m -h n des solutions est donc réduit 

 k m-hn — 2. 



» Et en général, lorsque la courbe U"„ a un point multiple d'ordre /• en 

 chacun des deux points circulaires à l'infini, le nombre des normales qu'on 

 peut lui mener d'un point donné est réduit à m + « — ar. 



» II. Supposons maintenant que la courbe U^, soit tangente à la droite ef 

 de l'infini en un point a; toute droite menée par ce point est normale à la 

 courbe, parce que la tangente passe par le point a' conjugué harmonique 

 de a par rapport au segment ej'; donc, si la droite PX passe par le point de 

 contact rt, la droite PU passe aussi parce point; ce qui fait une solution 

 étrangère, et réduit ainsi le nombre des normales k in-hn— i. 



» III. Enfin, si la courbe U"„ a un point multiple d'ordre s, le nombre 

 des normales menées par ,ce point, y compris les normales en ce point 

 même, est, comme dans le cas général, m -h- n, parce que la démonstration 

 générale subsiste sans aucune modification. 



» 2'' Déinonstralion. — Cette démonstration sera une conséquence im- 

 médiate du théorème suivant : 



» THÉORÈME. — Si, autour d'un point O, on fait tourner un angle droit AOB, 

 et qu'aux j)oints oii le côté OA coupe une courbe U^ on mène les tangentes, les- 

 quelles rencontreront le côté OB en m points : le lieu de ces points est une courbe 

 de l'ordre (m + n), ayant un point multiple d'ordre n en O. 



» Prouvons que la courbe a in-\-ji points sur une droite quelconque L. 

 Par un point .r de cette droite passe le côté OB de l'angle; le côté OA ren- 

 contre la courbe en m points, et les tangentes en ces points coupent L en 

 m points u. Par un point u passent 7i tangentes; si le côté OA de l'angle 

 passe successivement par les n points de contact, le côté OB coupe L en 

 n points x. Il existe donc m + 7i points x qui coïncident chacun avec un 

 point u correspondant. Ces points appartiennent à la courbe cherchée, qui 

 est donc d'ordre [m-\-n). c. Q. F. D. 



» Conséquence. — Cette courbe d'ordre {m-\- ji) a ni-hn points à l'in- 

 fini; alors le côté OB de l'angle droit est parallèle à la tangente en l'un 

 des points du côté OA, et, par conséquent, ce côté OA est la normale en 

 ce point. Donc il existe {m ■+- ti) normales émanées du point O; ce que nous 

 nous proposions de démontrer. 



» Observation. — Les deux démonstrations que nous venons de donner 

 de la formule m -\- n, qui exprime le nombre des normales qu'on peut 

 mener par un point, s'appliquent d'elles-mêmes au cas des obliques abais- 



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