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 sées d'un point sons un angle de grandeur donnée et dans un même sens 

 de rotation, dont le nombre est aussi m + n. 11 suffit de considérer, dans 

 la première démonstration, l'oblique et la tangente eu son pied comme deux 

 droites qui divisent le segment ef de l'infini dans un rapport anharmonique 

 donné, au lieu du rapport harmonique. 



» Passons au théorème relatif à la réflexion sur une courbe U^,, dont 

 voici l'énoncé : 



» Lorsque des rayons émanés d'un point Q se réfléchissent sur une courbe 

 UJJ,, les rayons réfléchis enveloppent une courbe de la classe m -f- 2n. 



» Il faut prouver qu'il existe, sur la courbe U^, m + ^n points tels, 

 que les rayons réfléchis en ces points passeront par un même point Q'. 

 Ces rayons, et les rayons incidents émanés du point Q font des angles 

 égaux avec la tangente, et sont par conséquent conjugués harmoniques 

 par rapporta la tangente et à la normale; on peut dire réciproquement 

 que la tangente et la normale coupent la droite QQ' en deux points x, x' 

 conjugués harmoniques par rapport aux deux points Q, Q'. Cela posé, 

 par un point x de la droite QQ' passent ji tangentes xO de la courbe U",; 

 les normales aux points de contact Q coupent QQ' en n points x". Un 

 point x", pris arbitrairement sur QQ', a pour conjugué par rapport au 

 segment QQ' un point x' par lequel passent m -\- ii normales de U^; les 

 tangentes aux pieds de ces normales coupent QQ' en m -+- n points x. Donc 

 il existe m + in points x qui coïncident chacun avec un point x corres- 

 pondant. Ces in-\-2n points appartiennent aux tangentes de m-hin 

 points de la courbe qui satisfont à la question. Le théorème est donc dé- 

 montré. 



» Obseivalion. — Ce résultat se vérifie immédiatement par cette consi- 

 dération que la courbe enveloppe des rayons réfléchis a m -+- in tangentes 

 passant par le point Q. Ces tangentes sont : i" les m + n normales menées 

 par Q, qui, regardées comme rayons incidents, se réfléchissent dans leur 

 propre direction; 2° les 7Z tangentes menées du point Q, qui, regardées 

 comme rayons incidents, font un angle nul avec les tangentes, et donnent 

 lieu à des rayons réfléchis faisant aussi un angle nul avec ces tangentes, et 

 passant donc par le point Q. 



» Cas particulier. — Si la courbe U"„ passe par les deux points circu- 

 laires à l'infini e,^^, il y a deux solutions étrangères dans le nombre m ■+- m 

 qui exprime la classe do la caustique, et qui devient donc m -+- 'xn — 2. 

 En effet, la normale au point e est indéterminée de direction, comme nous 



