( 4o« ) 



même résultante et le même couple, produirait les mêmes déformations, 

 si ce n'est très-près de l'extrémité où elles agissent. Il a aussi établi, sur 

 ses vraies bases, la théorie générale de l'équilibre des corps prismatiques 

 dont la surface latérale n'est soumise qu'à la pression atmosphérique anté- 

 rieurement aux phénomènes étudiés ; car il a fait connaître les vraies actions 

 élastiques et les vraies déformations qui y ont lieu à des distances finies des 

 extrémités, c'est-à-dire aux points où ces phénomènes sont soumis à des 

 lois indépendantes du mode particulier d'application des actions exercées 

 aux extrémités mêmes. 



» Toutefois, il reste encore à démontrr-r analytiquement, en s'appuvant 

 seule.nent sur la petitesse supposée des dimensions transversales des tiges, 

 que ce mode est bien indifférent, c'est-à-dire que l'action mutuelle des 

 fibres, à une distance finie des extrémités, est toujours dirigée à fort peu 

 près suivant leurs tangentes, et, aussi, que leur dilatation sur toute l'éten- 

 due de chaque section est une simple fonction linéaire des coordonnées 

 transversales. Cette démonstration, et l'établissement corrélatif des formules 

 fondamentales de la déformation d'une tige, constituent le premier objet 

 du Mémoire analysé. ?vl. Boussinesq les expose pour le cas général où des 

 actions quelconques seraient appliquées même sur la masse entière de 

 la tige, et où celle-ci serait hétérogène, mais formée de fibres qui subiraient 

 les mêmes déformations latérales, si on les soumettait isolément à de 

 simples tensions produisant sur toutes la même dilatation longitudinale. 



I) M. Rirchoff a essayé de donner, d'un tout autre point de vue, une 

 théorie complètement rationnelle des tiges élastiques très-minces (Crelle, 

 t. 56, p. 285, ou même édition de Navier, appendice complémentaire, 

 §§ gS et 96). Il suppose qu'on mène, par chaque point matériel de l'axe 

 (le la tige et antérieurement aux déplacements étudiés, un système d'axes 

 rectangulaires des x', y', z' dirigés, celui des x' suivant l'axe de la tige, et 

 les deux autres suivant les deux axes d'inertie principaux de la section 

 normale correspondante. Un point de la tige très-voisin de l'un de ces 

 systèmes d'axes peut lui être rapporté avant et après les déformations.. 

 Comme il y a une infinité de systèmes pareils, le point considéré sera dé- 

 terminé, dans l'état primitif, au moyen de ses coordonnées .r', y', z' par 

 rapport à l'un d'eux et de la distance s\ mesurée sur l'axe de la tige, de 

 l'origine du système adopté à celle de la tige elle-même. Après les défor- 

 mations, les déplacements relatifs «', v\ w' du même point, c'est-à-dire 

 les accroissements reçus par ses coordonnées primitives .r', j' , s', seront 

 fonctions des quatre variables indépendantes.!"', 7', z', i'. M. Rirchoff a dé- 



