( 48. ) 

 fourniront A, X. Lorsque r va de o à ± oo , ift, croît sans cesse ou décroît 

 sans cesse en tendant vers une limite, el, suivant que m est > ou < o, la 

 valeur absolue de A s'approche constamment de o ou de co ; B et logX, 

 acquérant bientôt des termes décroissants alternativement positifs et néga- 

 tifs, tendent chacun vers une limite. Si r va au contraire de ± oo à o, 

 A tend vers o pour m négatif et vers oo pour m positif, à moins qu'on n'ait 

 sinB=:o pour r = o. En même temps, sinaB tend vers o; car, s'il n'en 

 était pas ainsi, on pourrait remplacer, pour r très-petit, sin2(r-+-B) par 

 sinaB, et la première (4), devenue /■'" tangB = const., donnei'ait, pour 

 r=o, tangB = o ou ±00, et par conséquent sin2B = o. Donc, pour 

 r = o, sinB = o ou ± i : si sinB = o, A n'étant généralement ni nul pour 

 m ■< o, ni infini pour m > o, U est fini et U'= o ; si sinB = ±1, A est nul 

 pour /rt < o, ce qui annule U et U', et infini pour m > o, ce qui rend 

 infini U', et même U quand m n'est pas < i . 



» Supposons que r, à partir de o, aille sans cesse vers d: oo . D'après (/i), 

 cir donnera son signe à d[r -i- ift,) pour r^> o si /«(a — m) > o, et pour 

 r'> le quart de iii[m — 2) dans le cas contraire; d{r 4- B) aura de même 

 le signe de dr dès que r^ sera > le quart de ni^. Une fois que r' aura 

 dépassé ces limites [et les plus usuelles des équations (1) n'ont aucune 

 racine au-dessous], r + B, r+ili, croîtront ou décroîtront sans cesse. Ap- 

 pelons r„, r„i deux valeurs de r telles que l'accroissement reçu de l'une à 

 l'autre, soit par r + B, soit par r + ifb, vaille («'— ji)tx, n et n' étant deux 

 entiers positifs ou négatifs; les formules (4) donneront: en supposant 

 ''«■ > fl et appelant g', i des quantités comprises entre =pi, 



soit (/•„,- r„) (1 + ^) = {n'- n)n, 

 (6) { r ^ -n 



(soit (,v-r„)[, + ^illl^^s»] = (,/-«>- 



» En substituant ±1 à e', o et i à £*, on obtiendra deux limites com- 

 prenant entre elles r„i — /•„. 



» Faisons n' ~ji = ±i suivant que r va de o à ±: 00 : si r„ est une racine 

 déjà calculée, soit de l'une des trois premières (i), soit seulement de la pre- 

 mière (i), 7v sera, d'après (3), la racine suivante de la même équation, et 

 ces deux limites en donneront deux valeurs approchées, auxquelles s'ap- 

 pliquera la méthode d'approximation par parties proportionnelles; si r„ 

 est un nombre quelconque, r„ et r„' comprendront entre eux une racine, 



C. R., 1871, 1" Semestre. (T. LXXII, N" 16.) 65 



