482 ) 



et une seule, soit de l'une des trois premières équations (i), soit seulement 

 de la première, et la connaissance d'une limite inféiieure de leur diffé- 

 rence permettra, comme dans la méthode de Lagrange, de séparer, puis 

 de déterminer cette racine, qui servira de point de départ à la recherche 

 des suivantes. Bientôt même on pourra se servir des formules ci-après, 

 transformées de (4) au moyen d'intégrations par parties, comme on le 

 reconnaît en différentiant, oùC, S, e, s désignent cos2(r-f- B), sin2(/'+B), 

 cos(r-|-Dî,), sin(r + ■»)!,), et dont les premiers termes seront seuls sensibles 

 dès qu'on fera Tq, r un peu grands eu valeur absolue : 



/ T> T> mVm-\-n,C. 2S-f-TOSG 



m 



(7) 



m 



4âH 32 r< J,. 



3ot — (i2 — 7m')C— 6/nC'— 6ot'C' 

 r" 



(8— 3/?;')[— w^4-4>wC)+4/7?'(4— 3ct')C'+8to'C'+8 m>C\ 



87^ 



-S 



» Ces expressions de B, iJb, réduites à leurs premiers termes et portées 

 dans les relations (6), permettront d'y remplacer s', s^ par leurs valeurs 

 approchées, et de déduire r„ de r„t ou /v fie r„; C, S y seront les mêmes 

 aux deux limites, et seront connus à priori, si r„ est racine de l'une des 

 trois premières équations (i). On aura, par exemple, dans le cas des deux 

 premières, S = o, C = qri, suivant qu'il s'agit de U = o ou de U'=o, et 

 par suite 



(8) 8(r„-n7r)-hm(/«rp2)/--'=8(/v-«':r)-l-m(mq:2)r7. (*) 



(*) Appliquons cette formule au calcul des racines positives de U=:o, U' = o, dans le 

 cas usuel oà. mz=n, et où U est une intégrale bien connue, susceptible de recevoir successi- 

 vement les formes suivantes : 



1 cos(/cosw)rfu = / cos(rcos«)(l — cQsa)da-=i\ cosl2/-cos' r^sixi^ — da 



