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nombre de problèmes. Aussi l'illustre auteur de la Mécanique analytique 

 jugea-t-il plus tard que la propriété dont il s'agit méritait, à raison de son 

 importance, de faire l'objet d'un nouveau principe général de dynamique, 

 qu'il appela de la moindre action, sans se dissimuler la défectuosité de cette 

 dénomination, renouvelée de Mau|)ertuis (*). 



» Pour faire usage du principe de la moindre action dans la solution 

 des problèmes de mécanique, il suffit d'égaler à zéro la variation de l'inté- 

 grale dont la valeur est un maximum ou un minimum, et le résultat qu'on 

 obtient ainsi ne diffère pas, au fond, de la formule générale de la dyna- 

 mique. Il est donc peu important, à ce point de vue, de savoir si le maxi- 

 mum ou le minimum a lieu effectivement : ce qu'il faut, c'est, je le répète, 

 que la variation de l'intégrale soit nulle, et la démonstration que Lagrange 

 a donnée de son principe n'établit pas autre chose. 



» Mais il n'en est pas moins d'un haut intérêt pour l'Analyse et pour la 

 Mécanique générale qu'une propriété aussi remarquable du mouvement 

 soit connue exactement. Je suis parvenu heureusement à combler la lacune 

 qui existait à cet égard, eu calculant la variation du deuxième ordre de 

 l'intégrale dont la variation du premier ordre est nulle; cette variation du 

 deuxième ordre est toujours positive, et l'on peut affirmer, en conséquence, 

 que le minimum a lieu effectivement. 



» L'analyse que je développe dans ce Mémoire est, je crois, la première 

 application importante qui ait été faite du Calcul des variations à la distinc- 

 tion du maximum et du minimum; aussi mérite-t-elle peut-être, à ce point 

 de vue, d'arrêter un instant l'attention de l'Académie. 



» 2. Le principe de la moindre action dont je me propose de présenter 

 ici une démonstration complète peut être énoncé de la manière suivante : 

 » Lorsque le principe des forces vives est applicable à un système de points 

 matériels libres ou liés entre eux et sollicités par des forces données, le mouve- 

 ment du système est toujours tel, que la somme des quantités de mouvement des 

 divers corps multipliées par les éléments des trajectoires respectives a, entre deux 

 positions quelconques du système, une intécjrale minimum. C'est-à-dire que iin- 

 léqrale dont il s'agit est moindre dans le mouvement réel que dans le mouvement 

 nouveau qui aurait lieu si, rendant le premier mouvement impossible par r in- 

 troduction de liaisons nouvelles, on obligeait les corps à suivre, sous l'action 

 des mêmes forces, des trajectoires infmiment voisines des premières, pour passer 

 de la première position à la deuxième, tout en laissant subsister rétjuation des 



(*) Mécariit/uf aniilyti.juc, troisième édition, t. I, p. 22g et 281. 



