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D'un autre côté, en différentiant deux fois l'équation (35), on a 



;>T 



(53) 



V yr rfx,,-, , v ^q\ „ 



(^^) 11t&^' 



. rf=x,. 



f/<» 



'1^ 



il 



de 



^11 



de 



X,,) = o. 



» Considérons X comme constant et donnons à p. les valeurs i, 

 2,..., (« — i); les « — I équations (5i) et l'équation (54) pourront être 



résolues par rapport aux dérivées du second ordre '''' • D'après un théo- 

 rème connu, le déterminant formé avec les coefficients de ces dérivées est 

 égal au produit de Vinvarianl A de la force vive, considérée comme fonction 

 des seules variables q', par le déterminant 



(55) 



X 



*-«■< 



X( 2, X2 



q\, q^i----, q'n 



» On aura donc des équations résultantes de la forme 



(56) -dt^-Ix' 



Z, > étant une fonction entière relativement aux X^,^ et linéaire par rap- 

 port aux dérivées du premier ordre — -^- Quant aux coefficients, ils sont 



des fonctions déterminées de t, ainsi que l'invariant A, lequel ne peut ja- 

 mais se réduire à zéro. 



» Si l'on donne à i les valeurs i , 2,..., 7t, et à X les valeurs 1,2,.., («— i), 

 la formule (56) représentera un systèmeden(n — 1) équations différentielles 

 auxquelles répondra certainement un système intégral renfermant 2n{n— i) 

 constantes arbitraires. Ces arbitraires seront, si l'on veut, les valeurs que pren- 



