CLASSE DES SCIENCES. 87 



C'est ce que I'on peut verifier, en effet , en substituant 

 aux quantites u', p\ w' et i/' leurs valeurs tirees des for- 

 miiles (1), (2), (3) et (4j. 



Reciproquement, de ce que la derivee du second membre 

 de la relation (10) est nulla, on en conclut que le second 

 membre a une valeur constants , et que la relation (10) est 

 satisfaite en y donnant k B cette valeur constante. De la 

 on conclut ensuite que la derivee du second membre de la 

 relation (9) est nulle , ou que ce second membre est cons- 

 tant , en sorte que la relation (9) est satisfaite , en choisis- 

 sant A. convenablement. Or , la relation (9), equivalente des 

 relations (7) et (6), exprime que la derivee du produit 



ffl'if feiCos(ffl +e,)] ■ 



■fi'^i 



-.-„,ii 



est nulle , ou que ce produit est constant. Si done on 

 appelle p la valeur constante de ce produit , la relation (5) 

 est satisfaite et la trajectoire du mobile est une section 

 conique ayant pour foyer le point attirant. 



Ainsi , la premiere loi de Kepler se trouve demontree. 



Determinons maintenant les valeurs des trois constantes. 

 Pour cela , il sufBra de connaitre a une epoque particuliere, 

 a I'epoque initiale par exemple , les valeurs particulieres 

 de p,eo, uetv. En effet, de la formule (10) on pourra 

 deduire alors la valeur de B , puis de la formule (9) celle 

 de A , et les relations (8) permettront d'en conclure celles 

 de e et de c. Ces quantites une fois connues , la formule (5) 

 fournira la valeur de p. 



Cherchons Texpression de e ou de Texcentricite. On a 



e' = A^ -f- B'. 

 Or, les formules (9) et (10) peuvent s'ecrire 



^ = — Cos d. -f- -— . Sin u. Sin ( u -f- w ), 



