164 ACADÉMIE DE ROUEN. 
pair sont toutes plus grandes que les réduites de rang im- 
pair; mais que les premières vont toujours en diminuant, 
les secondes toujours en augmentant , en sorte que la diffé- 
rence entre la dernière réduite de rang pair et la dernière 
réduite de rang impair décroit sans cesse, et devient même 
aussi petite que l'on veut, pourvu que l'on pousse assez 
loin le calcul. I en résulte que, si l'on considère les 
quantités concrètes dont ces réduites seraient l'expression 
numérique , on aura deux séries de grandeurs , les unes 
croissant toujours , représentées par les réduites de rang 
impair , les autres représentées par les réduites de rang 
pair, plus grandes que les premières et décroissant tou- 
jours; les premières diffèreront de moins en moins , et 
d'aussi peu que l'on voudra des secondes ; d'où il faut 
conclure que les unes en augmentant , les autres en di- 
minuant, tendent vers une certaine grandeur qui est leur 
limite commune. Cette grandeur, incommensurable avec 
l'unité (comme on le démontrerait aisément), se trouve 
alors définie par l'ensemble des grandeurs commensura- 
bles qui s’en rapprochent sans cesse ; et, comme ces der- 
nières sont représentées par les réduites successives que 
fournit la fraction continue , on voit que celle-ci peut être 
regardée comme représentant la grandeur incommensu- 
rable elle-même. On dit donc que cette fraction continue 
est un nombre incommensurable, et que ce nombre est 
la limite vers laquelle tendent les réduites successives. 
18. Enfin, pour citer un dernier exemple, le polynôme 
æ-2»-5 ne peut être rendu nul pour aucune valeur de x, 
entière ou fractionnaire ; mais on peut toujours trouvel 
deux séries de valeurs de æ, les unes indéfiniment crois- 
santes , les autres indéfiniment décroissantes, pour les- 
quelles le polynôme diminue de plus en plus et devient 
aussi peu différent de zéro que l'on veut. Les valeurs de 
x fournies par ces deux séries et comparées deux à deux, 
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