196 ACADÉMIE DE ROUEN. 
espèce rapportées à la même unité. Ainsi, le rapport de 
deux volumes A et B étant 3/8, et le rapport de deux poids 
A et B’ étant 7/9, on dit que ce dernier rapport est plus 
grand que le premier, parce qu’une quantité concrète 
d’une nature quelconque exprimée par la fraction 7/9 est 
plus grande qu'une quantité de même nature , rapportée 
à la même unité, et qu'exprimerait la fraction 38. 
Etablissons quelques principes relatifs à la comparaison 
de deux grandeurs abstraites de même espèce, et pour les 
quelles l'unité serait différente. 
21. Comparons le rapport de A à Bau rapport de A à 
B’, dans le cas où B est plus grand que B”. Il est facile de 
voir que le premier rapport est moindre que le second : en 
effet B et B’ étant divisés dans le même nombre de parties 
égales, les premières parties sont plus grandes que les 
secondes , et si elles sont suffisamment petites, À contient 
moins des premières que des secondes (1), ce qui suflit 
pour établir la vérité de ce que nous avons avancé. 
22, Supposons maintenant que B° se rapproche de B de 
plus en plus ; je dis que le rapport de A à B° se rapproche de 
plus en plus du rapport de A à B. En effet, divisons A en M 
parties égales; on peut toujours, quelque grand que soit 
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(1) Soit en effet B et B’ partagés dans le même nombre n» de 
parties égales; ou bien A contiendra moins de parties de B que de 
parties de B’, ou bienil en contiendra autant. Dans ce dernier cas, 
la partie excédante R, obtenue en portant sur A autant de parties 
de B que l’on peut, sera moindre que la partie excédante R' obte- 
nue en portant sur A le même nombre de parties de B’. Si l'on sub- 
divise alors chacune des parties de B en parties égales plus petites 
que l'excès de R’ sur R, et chacune des parties de B’ dans le même 
nombre de parties remplissant à fortiori les mêmes conditions, on 
sera sûr que le reste R’ renferme plus de parties de B° que le reste 
R ne renferme de parties de B,et par suite que A renferme 
plus de parties de B’ que de parties de B. 
