66 MATIltMVTIQLES, ASTRONOMIIÎ. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE. 



M. A. AUBRY ( Dijon). 

 :i Août. 



Les principes de la théorie des nombres complexes. — Habituellement on 

 établit, d'après Gauss, la théorie des nombres complexes, en supposant connue 

 celle des nombres réels; elle peut cependant, et peut-être devrait-elle, se 

 traiter directement, d'autant plus que c'est là qu'il faut chercher la véritable 

 source de l'arithmétique quadratique. C'est ce qu'a exposé en partie Lejeune- 

 Dii'ichlet en tête de ses Recherches sur les f. quad. à coef. et ind. compl. (Cr.. 

 iS/ja et Werke, t. I, p. 5'ig); puis, plus complètement, dans une suite de con- 

 férences faites à Berlin en i853-i85i et consignées en i863 dans un opuscule 

 de G. Arendt, qui semble assez rare, car ni la Zahlentheorie, ni les Werke, de 

 Lejeune-Dirichlet n'en parlent : je ne vois que Bachmann, dans sa Kreist- 

 heilung, qui y fasse allusion. Toutefois, il restait encore dans cette exposition 

 un emprunt à la théorie élémentaire des nombres, le théorème de Fermât, 

 qu'il convenait de traiter dans le même esprit. D'ailleurs, il y avait lieu de revoir, 

 de compléter et de simplifier le tout, de manière à le rendre accessible à tous les 

 les amateurs de l'arithmétique. 



C'est dans ce but, que j'ai pensé à présenter une série d'articles sur ce sujet : 

 le premier contiendra seulement les tout premiers éléments basés en grande 

 partie sur le célèbre théorème de Fermât relatif à la décomposition des nombres 

 premiers 4 + i en une somme de deux carrés, ce qui fait une démonstration 

 nouvelle à ajouter à celles d'Euler, de Lagrange, de Legendre, de Gauss, de 

 Smith et d'Ed. Lucas, que j'ai rappelées dans une Note insérée au Tome IV 

 des Œuvres de Fermât, page l'ii. 



M. Léon AUBRY. 

 5 Août. 



Trois Mémoires de la théorie des nombres. — Le théorème 6 est très important, 

 surtout pour la résolution de l'équation de Fermât, et peut-être pour la décom- 

 position des nombres. Mon étude est la suite logique de mon Mémoire de kji i. 

 et j'obtiens ainsi par une méthode uniforme et très simple les principaux résul- 

 tats concernant les diviseurs des formes quadratiques. 



Ma démonstration que tout nombre premier de la forme 4 n + i est une 

 somme de deux carrés, est absolument directe et indépendante des fractions con- 

 tinues et de l'équation de Fermât. Ma méthode permet d'ailleurs de se passer 

 des fractions continues, ce qui n'est peut-être pas sans importance; j'espère 

 pouvoir l'étendre à d'autres suites, ce qui permettrait de retrouver, ainsi que 

 l'a fait Fermât; la démonstration de 8n + 3 égal à une somme de trois carrés, 

 sans s'appuyer sur le théorème de Lejeune Dirichlet sur la progression arith- 

 métique ou sur la théorie des formes quadratiques. 



